Question

25、已知如图，B是AC上一点，△ABD和△DCE都是等边三角形．
（1）求证：AC=BE；
（2）若BE⊥DC，求∠BDC的度数．

Answer 1

分析：（1）、由等量加上等量还是等量知，∠ADC=∠BDE，由等边三角形的性质知，AD=BD，CD=DE，故由SAS证得△ADC≌△BDE，可得AC=BE
（2）、由题意知，BE是CD的中垂线，由中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等知，DE=BC=AB，故△ADC是直角三角形，点B是斜边上的中点则可求得∠BDC的度数．

解答：（1）证明：∵△ABD和△DCE都是等边三角形，
∴∠ADB=∠CDE=60°，AD=BD，CD=DE．
∴∠ADB+∠BDC=∠BDC+∠FDE，即∠ADC=∠BDE．
∴△ADC≌△BDE．
∴AC=BE．

（2）解：∵△DCE是等边三角形，
∴DE=CE，又BE⊥DC，
∴F为DC的中点（三线合一），
∴BE是CD的中垂线．
∴DB=CB．又△ABD是等边三角形，
∴AB=DB=BC，
∴△ADC是直角三角形（三角形一边上的中线等于这边的一半，则这边所对的角为直角），
∵∠A=60，
∴∠BDC=∠ACD=90°-∠A=90°-60°=30°．

点评：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、中垂线的判定和性质及直角三角形的判定和性质求解．各种知识的综合运用是正确解答本题的关键．