Question

2．已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，且边长为a．延长BC至点E，使BC=CE，连接DE．
（1）求证：△DEC为正三角形；
（2）连接AE、BD，两线交于点F，连接CF，求证：AF=CF=DF；
（3）求△ADF的面积．（用含a的式子表示）

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质可得∠DCE=60°，CD=BC=CE，再根据正三角形的判定即可证明；
（2）根据等腰梯形的性质可得AF=DF，根据题意可得△ABE是直角三角形，可证△ECF≌△EDF，根据全等三角形的性质可得CF=DF，从而求解；
（3）延长CF交AD于G，根据三角函数可得FG的长，再根据三角形面积公式即可求解．

解答 （1）证明：∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，BC=CE，
∴∠DCE=60°，CD=BC=CE，
∴△DEC为正三角形；
（2）证明：∵△DEC为正三角形；
∴DE=DC，
∴AB=DE，
∴四边形ABED是等腰梯形，
∴AF=DF，
∵2AB=BE，∠ABC=60°，
∴△ABE是直角三角形，
∴∠AEB=30°，
∴∠AED=30°，
∴∠AEB=∠AED，
在△ECF与△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CE}\\{∠AEB=∠AED}\\{EF=EF}\end{array}\right.$
∴△ECF≌△EDF，
∴CF=DF，
∴AF=CF=DF；
（3）解：延长CF交AD于G，
则AG=$\frac{1}{2}$a，∠GAF=∠AEB=30°，
在Rt△AGF中，FG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×AG=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
则△ADF的面积=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²．

点评 考查了四边形综合题，涉及的知识点有：菱形的性质，正三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的知识，三角形面积计算，综合性较强，有一定的难度．