Question

（1）如图1，点P是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，若S_△PAB=S₁，S_△PBC=S₂，S_△PCD=S₃，S_△PAD=S₄则S₁、S₂、S₃、S₄的关系为S₁=S₂=S₃=S₄．请你说明理由；
（2）变式1：如图2，点P是平行四边形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD．若S_△PAB=S₁，S_△PBC=S₂，S_△PCD=S₃，S_△PAD=S₄，则S₁、S₂、S₃、S₄的关系为

 

；
（3）变式2：如图3，点P是四边形ABCD对角线AC、BD的交点若S_△PAB=S₁，S_△PBC=S₂，S_△PCD=S₃，S_△PAD=S₄，则S₁、S₂、S₃、S₄的关系为

 

．请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的对角相互相平分与如果三角形等底等高面积相同，得解；
（2）可以根据△ABD≌△CDB求得；
（3）由△ABP中AP边上的高与△BCP中CP边上的高相同与△PAD中AP边上的高与△PCD中CP边上的高相同，可得

S△PAB

S△PBC

=

PA

PC

即

S1

S2

=

PA

PC

，

S△PAD

S△PCD

=

PA

PC

即

S4

S3

=

PA

PC

，所以

S1

S2

=

S4

S3

，即S₁•S₃=S₂•S₄．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AP=CP，
又∵△ABP中AP边上的高与△BCP中CP边上的高相同，
∴S_△PAB=S_△PBC，
即S₁=S₂，
同理可证S₂=S₃S₃=S₄，
∴S₁=S₂=S₃=S₄；

（2）S₁+S₃=S₂+S₄；

（3）S₁•S₃=S₂•S₄；
理由：
∵△ABP中AP边上的高与△BCP中CP边上的高相同，
∴

S△PAB

S△PBC

=

PA

PC

即

S1

S2

=

PA

PC

，
∵△PAD中AP边上的高与△PCD中CP边上的高相同，
∴

S△PAD

S△PCD

=

PA

PC

即

S4

S3

=

PA

PC

，
∴

S1

S2

=

S4

S3

，
∴S₁•S₃=S₂•S₄．

点评：此题考查了平行四边形的性质．解题的关键是注意：等底等高的三角形面积相等，等底的三角形的面积比等于高的比，等高的三角形面积的比等于底的比．