Question

（2012•青神县二模）东方专卖店专销某种品牌的计算器，进价l2元/只，售价20元/只．为了促销，专卖店决定凡是买10只以上的，每多买一只，售价就降低O.10元（例如．某人买20只计算器，于是每只降价O.10×（20-10）=1元，就可以按19元/只的价格购买），但是最低价为16元/只．
（1）求顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买？
（2）写出当一次购买x只时（x＞10），利润y（元）与购买量x（只）之间的函数关系式；
（3）有一天，一位顾客买了46只，另一位顾客买了50只，专卖店发现卖了50只反而比卖46只赚的钱少，为了使每次卖的多，赚钱也多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元/只至少要提高到多少？为什么东方专卖店专销某种品牌的计算器，进价12元/只，售价20元/只．为了促销，专卖店决定凡是买10只以上的，每多买一只，售价就降低O.10元（例如．某人买20只计算器，于是每只降价O.10×（20-10）=1元，就可以按19元/只的价格购买），但是最低价为16元/只．

Answer 1

分析：①
（1）理解促销方案，正确表示售价，得方程求解；
（2）当x=50时，会以最低价购买，所以分类讨论，①10＜x≤50，②x＞50，分别得出y与x的表达式即可．
（3）求出取得最大利润时的售价，根据函数性质解释现象，进一步解决问题．
②
（1）理解促销方案，正确表示售价，得方程求解；
（2）因为设了最低价，所以超过一定数量也按最低价销售，不再打折，所以需分类讨论；先得出y与x的关系式，令y=180，解出x的值，即可作出判断．
（3）求出取得最大利润时的售价，根据函数性质解释现象，进一步解决问题．

解答：①解：（1）设需要购买x只，
则20-0.1（x-10）=16，
得x=50，
故一次至少要购买50只；
（2）当10＜x≤50时，y=[20-12-0.1（x-10）]x，即y=-0.1x²+9x，
当x＞50时，y=（20-16）x，即y=4x，
综上可得：y=

-0.1x2+9x(10＜x≤50) 4x(x＞50)

．
（3）当10＜x≤50时，y=-0.1x²+9x，
当x=-

b

2a

=45时，y有最大值202.5元；
此时售价为20-0.1×（45-10）=16.5（元），
故最低价至少要提高到16.5元/只．

②解：（1）设需要购买x只，
则20-0.1（x-10）=16，
得x=50，
故一次至少要购买50只；
（2）当0≤x≤10时，y=（20-12）x=8x，即y=8x，
把y=180代入，解得x=22.5（舍去）；
当10＜x≤50时，y=[20-12-0.1（x-10）]x，即y=-0.1x²+9x，
把y=180代入，解得x₁=30，x₂=60（舍去）；
当x＞50时，y=（20-16）x，即y=4x，
把y=180代入，解得x=45（舍去）．
故该顾客此次所购买的数量是30只．
（3）当10＜x≤50时，y=-0.1x²+9x，
当x=-

b

2a

=45时，y有最大值202.5元；
此时售价为20-0.1×（45-10）=16.5（元），
故最低价至少要提高到16.5元/只．

点评：此题主要考查了函数的综合应用，根据函数的对称性讨论最大值问题，需考虑自变量的取值范围，难度较大．