Question

已知：如图，圆内接四边形ABCD的两边AB，DC的延长线相交于点E，DF经过⊙O的圆心，交AB于点F，AB=BE，连接AC，且OD=3，FA=FB=

5

．
（1）求证：△DAC∽△DEA；
（2）求出DA，AC的长度．

Answer 1

（1）∵DF过圆心，且AF=BF，
∴DF⊥AB，

AD

=

DB

，
∴∠ACD=∠EAD，又∠ADC=∠EDA，
∴△DAC∽△DEA；

（2）连接OA，如图所示：
∵DF⊥AB，
∴∠AFD=∠DFE=90°，
在Rt△AOF中，OA=OD=3，AF=

5

，
根据勾股定理得：OF=

OA2-AF2

=2，
∴DF=OD+OF=3+2=5，
在Rt△ADF中，AF=

5

，DF=5，
根据勾股定理得：AD=

AF2+DF2

=

30

，
又EF=FB+BE=FB+AB=3

5

，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DE=

EF2+DF2

=

70

，
∴AE=AF+EF=4

5

，
∵△DAC∽△DEA，
∴

AC

AE

=

AD

DE

，即

AC

4 5

=

30

70

，
则AC=

4 105

7

．