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精英家教网在平面直角坐标系中点A(0,2)C(4,0),AB∥x轴,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
(1)求出点B的坐标,并求出过A,B,C三点的抛物线的函数解析式;
(2)将△ABC直线AB翻折,得到△ABC1,再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度,得到△AB1C2.请求出点C2的坐标,并判断点C2是否在题(1)所求的抛物线的图象上;
(3)将题(1)中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m,并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上,请求出此时m的取值范围.
分析:(1)过C作CD⊥AB于D,根据A、C的坐标,易求得AD、CD的长,在Rt△ACB中,CD⊥AB,利用射影定理可求得BD的长(也可利用相似三角形得到),由此求得点B的坐标,进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式;
(2)根据△ABC的两次旋转变化可知AB1落在y轴上,可过C2作C2D1⊥AB1,根据△ACD≌△AC2D1得AD1、CD1的长,从而求出点C2的坐标,然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可;
(3)在(1)题中求得了抛物线的二次项系数,即可用m表示出平移后的抛物线顶点坐标,得(m,
4m-m2
2
)
,由于此顶点在△ACB的边上或内部,因此顶点横坐标必在0≤m≤5的范围内,然后分三种情况考虑:
①顶点纵坐标应小于或等于A、B的纵坐标.
②求出直线AC和直线x=m的交点纵坐标,那么顶点纵坐标应该大于等于此交点纵坐标.
③求出直线BC和直线x=m的交点纵坐标,方法同②.
结合上面四个不等关系式,即可得到m的取值范围.
解答:精英家教网解:(1)作CD⊥AB交AB于点D;
由△ACD∽△BCD得到BD=1,所以AB=5,
又因为AB∥x轴,
所以点B的坐标为(5,2)(2分)
设函数解析式为:y=ax2+bx+c,把A,B,C三点代入得:
a=
1
2
,b=-
5
2
,c=2

所以y=
1
2
x2-
5
2
x+2
;(3分)

(2)作C2D1⊥AB1
由△ACD≌△AC2D1得:
C2D1=2,AD1=4,
所以C2(-2,6)(2分)
把x=-2代入得y=9,
所以点C2不在抛物线上;(1分)

(3)由题(1)可知a=
1
2

所以顶点坐标为(m,
4m-m2
2
)
;(1分)
直线AC的解析式为y=-
1
2
x+2
,把x=m代入
y=-
1
2
m+2

直线BC的解析式为y=2x-8,把x=m代入
得y=2m-8,
因为顶点在三角形内部或者边上,
所以0≤m≤5,
4m-m2
2
≤2
,解得m可以取任意实数;
-
1
2
m+2≤
4m-m2
2
,解得1≤m≤4(可以图象法解);
2m-8≤
4m-m2
2
,解得-4≤m≤4;
得出其中任意2个不等式给(1分),4个(2分)
所以m的取值范围是1≤m≤4.(1分)
点评:此题主要考查了图形旋转变化、相似及全等三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定以及函数图象的平移,同时还涉及到简单线性规划的实际应用,难度较大.
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