Question

11．抛物线y=ax（x-2）经过坐标原点O，与x轴相交于另外一点A，顶点B在直线y=x上；

（1）如图1，求a值；
（2）如图2，点C为抛物线上第四象限内一点，连接OC与对称轴相交于点D，过点C作x轴平行线，与对称轴相交于点E，与抛物线相交于点F，若BD=DE，求点C坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点M在线段OF上，连接并延长CM至点R，点N在第一象限的抛物线上，连接CN，EN，且CN=CM=RN，当∠CNR=4∠FCM时，求点N坐标．

Answer 1

分析 （1）先解方程ax（x-2）=0得到则A（2，0），则利用对称性得到B点的横坐标为1，再利用顶点B在直线y=x上得到B（1，1），然后把B点坐标代入y=ax（x-2）中求出a即可；
（2）抛物线解析式为y=-x²+2x，直线x=1交x轴于K，如图2，设C（t，-t²+2t），则E（1，-t²+2t），利用线段中点坐标公式得到D（1，$\frac{-{t}^{2}+2t+1}{2}$），再证明△OKD∽△CED，然后利用相似比得到关于t的方程，再解方程求出t即可得到C点坐标；
（3）作NQ⊥CF于Q，MP⊥CF于P，CF交y轴于点H，如图3，先求出F点坐标得到CF=4，FH=1，OH=3，设N（m，-m²+2m），则E（1，-m²+2m），则NQ=-m²+2m+3，再证明△CNQ≌△MCP得到CP=NQ=-m²+2m+3，CQ=MP=3-m，所以FP=CF-PC=m²-2m+1，接着证明△FPM∽△FHO，然后利用相似得到方程（3-m）：3=（m²-2m+1）：1，再解方程求出m即可得到N点坐标．

解答 解：（1）当y=0时，ax（x-2）=0，解得x₁=0，x₂=2，则A（2，0），
所以抛物线的对称轴为直线x=1，即B点的横坐标为1，
而顶点B在直线y=x上；
所以B（1，1），
把B（1，1）代入y=ax（x-2）得a=-1；
（2）抛物线解析式为y=-x²+2x，直线x=1交x轴于K，如图2，
设C（t，-t²+2t），则E（1，-t²+2t），
∵BD=DE，即D点为BE的中点，
∴D（1，$\frac{-{t}^{2}+2t+1}{2}$），
∴KD=$\frac{{t}^{2}-2t-1}{2}$，DE=$\frac{-{t}^{2}+2t+1}{2}$-（-t²+2t）=$\frac{{t}^{2}-2t+1}{2}$，
∵OK∥CE，
∴△OKD∽△CED，
∴OK：CE=DK：DE，即1：（t-1）=$\frac{{t}^{2}-2t-1}{2}$：$\frac{{t}^{2}-2t+1}{2}$，
解得t₁=0（舍去），t₂=3，
∴C（3，-3）；
（3）作NQ⊥CF于Q，MP⊥CF于P，CF交y轴于点H，如图3，
∵点C（3，-3）与点F关于直线x=1对称，
∴F（-1，-3），
∴CF=4，FH=1，OH=3，
设N（m，-m²+2m），则E（1，-m²+2m），则NQ=-m²+2m+3，
∵NR=NC，
∴∠NRC=∠NCR，
∴∠NCR=$\frac{1}{2}$（180°-∠CNR），
而∠CNR=4∠FCM，
∴∠NCR=90°-2∠FCM，
∵∠NCR=90°-∠CNQ-∠FCM，
∴90°-2∠FCM=90°-∠CNQ-∠FCM，
∴∠FCM=∠CNQ，
在△CNQ和△MCP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CQN=∠MPC}\\{∠CNQ=∠MCP}\\{NC=CM}\end{array}\right.$，
∴△CNQ≌△MCP，
∴CP=NQ=-m²+2m+3，CQ=MP=3-m，
∴FP=CF-PC=4-（-m²+2m+3）=m²-2m+1，
∵MP∥OH，
∴△FPM∽△FHO，
∴MP：OH=FP：FH，即（3-m）：3=（m²-2m+1）：1，
解得m=$\frac{5}{3}$，
∴N点坐标为（$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{9}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住线段的中点坐标公式；会利用全等三角形的知识证明线段相等和相似比计算线段的长．