Question

已知△DCE的顶点C在∠AOB的平分线OP上，CD交OA于F，CE交OB于G．
（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，则图中有哪些相等的线段，请直接写出你的结论：______；
（2）如图2，若∠AOB=120^o，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与线段CG的数量关系并加以证明；
（3）若∠AOB=α，当∠DCE满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出∠DCE满足的条件．

Answer 1

解：（1）结论：CF=CG，OF=OG．  

（2）法一：过点C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N．
∵OC平分∠AOB，
∴CM=CN，①
∠CMF=∠CNG=90°，②
∠AOC=∠BOC．
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∠MCN=360°-∠AOB-∠CMF-∠CNO=60°．
∴∠DCE=∠AOC=60°．
∴∠MCN=∠FCG．
∴∠MCN-∠FCN=∠FCG-∠FCN．
即∠1=∠2．③
由①②③得△CMF≌△CNG．
∴CF=CG．
法二：在OB上截取一点H，使得OH=OC．
∵OP平分∠AOB，∠AOB=120°，
∴∠1=∠2=60°，∠DCE=∠1=60°．
∵OH=OC，
∴△OCH是等边三角形．
∴CO=CH，∠2=∠3．①
∴∠1=∠3．②
∴∠4+∠5=180°．
又∠5+∠6=180°，
∴∠4=∠6．③
由①②③得△CFO≌△CGH．
∴CF=CG．

（3）∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形FOGC是圆内接四边形，
∴∠DCE=180°-α．
分析：（1）由CD⊥OA，CE⊥OB，OP平分∠AOB及公共边OC，可证明△COF≌△COG，得出CF=CG，OF=OG；
（2）作辅助线，构造等边三角形，或过C点作∠AOB的两边的垂线，运用（1）的方法证明△COF≌△COG；
（3）由（1）（2）的探究过程可知，当四边形CFOG的两个对角互补时，（2）中的结论仍然成立．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质．关键是利用旋转的方法证明三角形全等，得出结论．