Question

17．在矩形ABCD中．点E在BC的延长线上，且CE=CD，点F为DE边上一点，连接AF．作FG⊥AF交直线DC于点G．
（1）如图1，连接AG，若AB=BC，DF=EF时，判断△AFG的形状为等腰直角三角形．
（2）如图2，若AB=BC，DF≠EF时．试探究线段AD，DF，DG三者之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，若AB≠BC，点F在ED的延长线上时，请先补全图形，再判断（2）的结论是否成立，若成立，请说明理由；若不成立．请直接写出新结论，不必证明．

Answer 1

分析 （1）先判断出，∠ADF=∠GCF，进而得出，△ADF≌△GCF即可得出结论；
（2）构造全等三角形，同（1）的方法判断出，△ADF≌△GHF，再出AD=HG最后用等量代换即可；
（3）构造全等三角形．同（1）（2）的方法判断出，△ADF≌△GHF，再出AD=HG最后用等量代换即可．

解答 解：（1）如图1，连接CF，
在Rt△CDE中，CE=CD，DF=EF，
∴CF=DF=EF，∠ECF=∠CDE=45°，
∴∠ADF=∠ADC+∠CDF=135°，∠FCG=∠GCE+∠ECF=135°，
∴∠ADF=∠GCF，
在△ADF和△GCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠CGF}\\{∠ADF=∠GCF}\\{DF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF，
∴AF=FG，
∵∠AFG=90°，
∴△AFG是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形；
（2）DG=AD+$\sqrt{2}$DF；
理由：如图2，过点F作FH⊥DE，
由（1）知，∠CDE=45°，
∴DH=$\sqrt{2}$DF，DF=HF，∠DHF=45°，
同（1）的方法得出∠ADF=∠GHF
在△ADF和△GHF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠HGF}\\{∠ADF=∠GHF}\\{DF=HF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GHF，
∴AD=HG，
∴DG=DH+HG=$\sqrt{2}$DF+AD，
（3）Ⅰ、点G在CD的延长线上时，补全图形如图3所示，
AD+DG=$\sqrt{2}$DF
理由：过点F作FH⊥DE交CD延长线于H，
同（2）的方法得出，DH=$\sqrt{2}$DF，FH=DF，∠H=∠ADF=45°，
在△ADF和△GHF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD=∠GFH}\\{DF=FH}\\{∠ADF=∠H}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GHF（ASA），
∴AD=HG
∵HG=DH-DG=$\sqrt{2}$DF-DG，
∴AD=$\sqrt{2}$DF-DG，
即：AD+DG=$\sqrt{2}$DF；
Ⅱ、点G在DC或DC延长线上时，补全图形如图④所示，
AD=DG+$\sqrt{2}$DF
理由：过点F作FN⊥DE，
同（2）的方法得出，DN=$\sqrt{2}$DF，FN=DF，
∵∠ADF=45°，
∴∠ANF=135°=∠GDF，
∵∠AFG=∠DFG=90°，
∴∠AFN=∠GFD，
在△ANF和△△DGF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFN=∠GFD}\\{FN=FD}\\{∠ANF=∠GDF}\end{array}\right.$，
∴△ANF≌△△DGF（ASA），
∴AN=DG，
∴AD=AN+DN=DG+$\sqrt{2}$DF．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是，△ADF≌△GHF．