Question

如图，直线y＝x＋3与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax²＋bx－3a经过点A，B，顶点为C，连接CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称.

（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；
（2）求证：四边形ABCD是直角梯形.

Answer 1

（1）y＝－x²－2x＋3  （－1，4）  （2）见解析

解析（1）解：∵y＝x＋3与坐标轴分别交与A，B两点，∴A点坐标（－3，0）、B点坐标（0，3）.
∵抛物线y＝ax²＋bx－3a经过A，B两点，
∴
解得
∴抛物线解析式为：y＝－x²－2x＋3.
∵y＝－x²－2x＋3＝－（x＋1）²＋4，
∴顶点C的坐标为（－1，4）.
（2）证明：∵B，D关于MN对称，C（－1，4），B（0，3），
∴D（－2，3）.∵B（0，3），A（－3，0），∴OA＝OB.
又∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠BAO＝45°.
∵B，D关于MN对称，∴BD⊥MN.
又∵MN⊥x轴，∴BD∥x轴.
∴∠DBA＝∠BAO＝45°.
∴∠DBO＝∠DBA＋∠ABO＝45°＋45°＝90°.
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
把B（0，3），C（－1，4）代入得，
解得
∴y＝－x＋3.
当y＝0时，－x＋3＝0，x＝3，∴E（3，0）.
∴OB＝OE，又∵∠BOE＝90°，
∴∠OEB＝∠OBE＝∠BAO＝45°.
∴∠ABE＝180°－∠BAE－∠BEA＝90°.
∴∠ABC＝180°－∠ABE＝90°.
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°.
∵CM⊥BD，∴∠MCB＝45°.
∵B，D关于MN对称，
∴∠CDM＝∠CBD＝45°，CD∥AB.
又∵AD与BC不平行，∴四边形ABCD是梯形.
∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是直角梯形.