如图.已知∠MON=90°.A是∠MON内部的一点.过点A作AB⊥ON.垂足为点B.AB=3厘米.OB=4厘米.动点E.F同时从O点出发.点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动.点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动.EF与OA交于点C.连接AE.当点E到达点B时.点F随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t=1秒时.△EOF与△ABO是否相似?请说明理由, (2)在运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；

（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？

（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S_△AEF=S_{四边形AEOF}？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵t=1，

∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，

∵AB=3厘米，OB=4厘米，

∴==，==

∵∠MON=∠ABE=90°，

∴△EOF∽△ABO．

（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．

∵AB=3，OB=4．

∴．

又∵∠EOF=∠ABO=90°，

∴Rt△EOF∽Rt△ABO．

∴∠AOB=∠EFO．

∵∠AOB+∠FOC=90°，

∴∠EFO+∠FOC=90°，

∴EF⊥OA．

（3）如图，连接AF，

∵OE=1.5t，OF=2t，

∴BE=4﹣1.5t

∴S_△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t²，

S_△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，

S_梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6，

∴S_△AEF=S_梯形ABOF﹣S_△FOE﹣S_△ABE=4t+6﹣t²﹣（6﹣t）=﹣t²+t，

S_{四边形AEOF}=S_梯形ABOF﹣S_△ABE=4t+6﹣（6﹣t）=t，

∵S_△AEF=S_{四边形AEOF}

∴﹣t²+t=×t，（0＜t＜）

解得t=或t=0（舍去）．

∴当t=时，S_△AEF=S_{四边形AEOF}．

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