Question

【题目】已知正方形ABCD，点M边AB的中点．
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F．

①求证：BE=CF；
②求证：BE2=BCCE．
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2=BCCE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长CD于点F，求tan∠CBF的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，

∴∠ABG+∠CBF=90°，

∵∠AGB=90°，

∴∠ABG+∠BAG=90°，

∴∠BAG=∠CBF，

∵AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，

∴△ABE≌△BCF，

∴BE=CF，

②∵∠AGB=90°，点M为AB的中点，

∴MG=MA=MB，

∴∠GAM=∠AGM，

又∵∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG，

∴∠CGE=∠CBG，

又∠ECG=∠GCB，

∴△CGE∽△CBG，

∴ = ，即CG2=BCCE，

由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG，

由①知BE=CF，

∴BE=CG，

∴BE2=BCCE；

（2）

解：延长AE、DC交于点N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠N=∠EAB，

又∵∠CEN=∠BEA，

∴△CEN∽△BEA，

∴ = ，即BECN=ABCE，

∵AB=BC，BE2=BCCE，

∴CN=BE，

∵AB∥DN，

∴ = = ，

∵AM=MB，

∴FC=CN=BE，

不妨设正方形的边长为1，BE=x，

由BE2=BCCE可得x2=1（1﹣x），

解得：x1= ，x2= （舍），

∴ = ，

则tan∠CBF= = = ．

【解析】（1）①由正方形的性质知AB=BC、∠ABC=∠BCF=90°、∠ABG+∠CBF=90°，结合∠ABG+∠BAG=90°可得∠BAG=∠CBF，证△ABE≌△BCF可得；
②由RtABG斜边AB中线知MG=MA=MB，即∠GAM=∠AGM，结合∠CGE=∠AGM、∠GAM=∠CBG知∠CGE=∠CBG，从而证△CGE∽△CBG得CG2=BCCE，由BE=CF=CG可得答案；（2）延长AE、DC交于点N，证△CEN∽△BEA得BECN=ABCE，由AB=BC、BE2=BCCE知CN=BE，再由 = = 且AM=MB得FC=CN=BE，设正方形的边长为1、BE=x，根据BE2=BCCE求得BE的长，最后由tan∠CBF= = 可得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方，以及对相似三角形的应用的理解，了解测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．