Question

9．如图，AB切⊙O于点B，OA=6，sinA=$\frac{1}{3}$，弦BC∥OA．
（1）求AB的长；
（2）求四边形AOCB的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OB，如图，利用切线的性质得∠ABO=90°，再利用∠A的正弦可计算出OB，然后利用勾股定理可计算出AB；
（2）作OD⊥BC于D，如图，利用垂径定理得到BD=CD，再利用平行线的性质和互余得到∠BOD=∠A，则根据∠BOD的正弦可求出BD，然后利用勾股定理计算出OD，最后利用三角形面积公式计算四边形AOCB的面积．

解答 解：（1）连接OB，如图，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴sinA=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{3}$，
∴OB=$\frac{1}{3}$×6=2，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$；

（2）作OD⊥BC于D，如图，则BD=CD，
∵BC∥OA，
∴∠AOB=∠OBD，
∴∠BOD=∠A，
∴sin∠BOD=$\frac{BD}{BO}$=$\frac{1}{3}$，
∴BD=$\frac{1}{3}$×2=$\frac{2}{3}$，
∴BC=2BD=$\frac{4}{3}$，OD=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴四边形AOCB的面积=S_△AOB+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×2×4$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{4\sqrt{2}}{3}$=$\frac{44\sqrt{2}}{9}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形．