Question

9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．
（1）求MP的值；
（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？
（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质可得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，利用勾股定理可得答案；
（2）如图1，做点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，则点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，由（1）可得AM，利用勾股定理可得ME和NM′，由△AFM′∽△NEM′，利用相似三角形的性质可得AF；
（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，由平行四边形的判定定理可得四边形ERGQ为平行四边形，由平行四边形的性质可得QE=GR，由垂直平分线的性质易得GM=GM′，可得此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，易得NR，M′R从而得到四边形MEQG的最小周长值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=4，∠D=90°，
∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，
∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，
∴$MP=\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5；

（2）如图1，做点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，则点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，
∵AM=AD-MP-PD=12-5-3=4，
∴AM=AM′=4，
∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，
∴∠CEP=∠MEP，∠CEP=∠MPE，
∴∠MEP=∠MPE，
∴ME=MP=5；
在Rt△ENM中，MN=$\sqrt{{ME}^{2}{-NE}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{-4}^{2}}$=3，
∴NM′=11，
∵AF∥ME，
∴△AFM′∽△NEM′，
∴$\frac{M′A}{M′N}$=$\frac{AF}{EN}$，
即$\frac{4}{11}=\frac{AF}{4}$，
解得：AF=$\frac{16}{11}$，
即AF=$\frac{16}{11}$时，△MEF的周长最小；

（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，
∵ER=GQ，ER∥GQ，
∴四边形ERGQ是平行四边形，
∴QE=GR，
∵GM=GM′，
∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，
在Rt△M′RN中，NR=4-2=2，M′R=$\sqrt{{11}^{2}{+2}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∵ME=5，GQ=2，
∴四边形MEQG的最小周长值是7$+5\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了折叠的性质和最短路径问题，做对称点利用勾股定理是解答此题的关键．