Question

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：
①b²-4ac＞0；
②2a+b＜0；  
③4a-2b+c=0；
④a：b：c=-1：2：3．
其中正确的个数是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：根据二次函数与x轴的交点的个数即可判断①；根据对称轴即可得出-=1，求出即可判断②；把x=-2代入二次函数的解析式，再结合图象即可判断③；根据二次函数与x轴的交点坐标，设y=ax²+bx+c=a（x-3）（x+1），用a把b、c表示出来，代入求出即可判断④．
解答：解：∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象和x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，∴①正确；
∵二次函数的对称轴是直线x=1，
即二次函数的顶点的横坐标为x=-=1，
∴2a+b=0，∴②错误；
把x=-2代入二次函数的解析式得：y=4a-2b+c，
从图象可知，当x=-2时，y＜0，
即4a-2b+c＜0，∴③错误；
∵二次函数的图象和x轴的一个交点时（-1，0），对称轴是直线x=1，
∴另一个交点的坐标是（3，0），
∴设y=ax²+bx+c=a（x-3）（x+1）=ax²-2ax-3a，
即a=a，b=-2a，c=-3a，
∴a：b：c=a：（-2a）：（-3a）=-1：2：3，∴④正确；
故选B．
点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系，当b²-4ac＞0时，二次函数的图象与x轴有两个交点，当b²-4ac=0时，二次函数的图象与x轴有一个交点，当b²-4ac＜0时，二次函数的图象与x轴没有交点，二次函数的对称轴是直线x=1时，二次函数的顶点的横坐标是x=-=1．用了数形结合思想．