Question

5．（1）如图1，PD∥BC，PE∥CF，若BC=CF，求证：PD=PE．
（2）如图2，锐角三角形ABC中，D为BC上一点，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，G为AC上一点，P为DG上一点，PH⊥AC于H，PM∥DF交FG于M，且DE=DF，过P作PQ⊥BC于Q，延长PM交AB于I，若PH+PQ=PI．
①求证：G在∠ABC的平分线上；
②若PI=10，P到HQ的距离为2，则PC的最大值为$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由PD∥BC，PE∥CF，推出$\frac{PD}{BC}$=$\frac{AP}{AC}$，$\frac{PE}{CF}$=$\frac{PA}{AC}$，得到$\frac{PD}{BC}$=$\frac{PE}{CF}$，由此即可证明．
（2）①证明：如图2中，作GN⊥AB于N，GK⊥BC于K，只要证明GN=GK即可解决问题．
②如图3中，作PK⊥HQ于K，设PH=x，PQ=y，则x+y=10，由△PCH∽△PQK，推出$\frac{PC}{PQ}$=$\frac{PH}{PK}$，得$\frac{PC}{y}$=$\frac{x}{2}$，即PC=$\frac{1}{2}$xy，根据两个变量和为定值，相等时积最大，即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵PD∥BC，PE∥CF，
∴$\frac{PD}{BC}$=$\frac{AP}{AC}$，$\frac{PE}{CF}$=$\frac{PA}{AC}$，
∴$\frac{PD}{BC}$=$\frac{PE}{CF}$，
∵BC=CF，
∴PD=PE．

（2）①证明：如图2中，作GN⊥AB于N，GK⊥BC于K．

由（1）可知PH=PM，
∵PI=PH+PQ，
∴MI=PQ，
∵MI⊥AB，GN⊥AB，
∴MI∥GN，
∴$\frac{MI}{GN}$=$\frac{FI}{FN}$，
∵GK⊥BC．PQ⊥BC，
∴PQ∥GK，
∴$\frac{PQ}{GK}$=$\frac{DP}{DG}$，
∵DF∥PI∥GN，
∴$\frac{DP}{DG}$=$\frac{IF}{FN}$，
∴$\frac{MI}{GN}$=$\frac{PQ}{GK}$，
∴GN=GK，
∵GN⊥AB，GK⊥BC，
∴点G在∠ABC的平分线上．
②如图3中，作PK⊥HQ于K，设PH=x，PQ=y，则x+y=10，

∵∠PHC+∠PQC=180°，
∴P、Q、C、H四点共圆，
∴∠PCH=∠PQK，
∵∠PHC=∠PKQ=90°，
∴△PCH∽△PQK，
∴$\frac{PC}{PQ}$=$\frac{PH}{PK}$，
∴$\frac{PC}{y}$=$\frac{x}{2}$，
∴PC=$\frac{1}{2}$xy，
∵x+y=10，
∴x=y=5时，xy最大值为25，
∴PC的最大值为$\frac{25}{2}$．
故答案为$\frac{25}{2}$．

点评 本题考查三角形综合题、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解两个变量和定值，相等时积最大，属于中考压轴题．