Question

2．四边形ABCD中，∠B=∠D，∠BAC=120°，∠BCD=150°，若AC=5$\sqrt{3}$，AD=11，则BC的长为7$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延长BA，过点C作CE⊥BA与点E，延长DC，过点A做AF⊥DC与点F，在Rt△AEC中可得到$\frac{AC}{BC}$=$\frac{sin∠B}{sin∠BAC}$；在Rt△ACF中可得到$\frac{AC}{AD}$=$\frac{sin∠D}{sin∠ACD}$，再由∠ACD=∠BCD-∠ACB，结合已知角的度数，即可用∠D将∠ACD表示出来，在$\frac{AC}{AD}$=$\frac{sin∠D}{sin∠ACD}$中结合sin²∠D+cos²∠D=1，即可求出sin∠D=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$=sin∠B，将其代入$\frac{AC}{BC}$=$\frac{sin∠B}{sin∠BAC}$中即可求出线段BC的长．

解答 解：延长BA，过点C作CE⊥BA与点E，延长DC，过点A做AF⊥DC与点F，如图所示．

∵在Rt△AEC中，CE=AC•sin∠CAE=AC•sin∠BAC，CE=BC•sin∠B，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{sin∠B}{sin∠BAC}$．
∵在Rt△ACF中，AF=AC•sin∠ACF=AC•sin∠ACD，AF=AD•sin∠D，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{sin∠D}{sin∠ACD}$．
在△ABC中，∠ACB=180°-∠B-∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠ACB=60°-∠B．
∵∠BCD=150°，∠B=∠D，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=150°-（60°-∠B）=90°+∠B=90°+∠D．
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{sin∠D}{sin∠ACD}$=$\frac{sin∠D}{sin（90°+∠D）}$=$\frac{sin∠D}{cos∠D}$，
∵AC=5$\sqrt{3}$，AD=11，
∴sin∠D=$\frac{5\sqrt{3}}{11}$cos∠D，
又∵sin²∠D+cos²∠D=1，
∴sin∠D=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$=sin∠B．
又∵$\frac{AC}{BC}$=$\frac{sin∠B}{sin∠BAC}$，且∠BAC=120°，AC=5$\sqrt{3}$，
∴BC=$\frac{AC•sin∠BAC}{sin∠B}$=$\frac{5\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}$=7$\sqrt{3}$．
故答案为：7$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形，解题的关键是：借助直角三角形这个工具得出$\frac{AC}{BC}$=$\frac{sin∠B}{sin∠BAC}$以及$\frac{AC}{AD}$=$\frac{sin∠D}{sin∠ACD}$．