Question

某商场试销一种成本为每件60元的服装，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；
（3）若该商场想获得500元的利润且尽可能地扩大销售量，则销售单价应定为多少元？
（4）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

Answer 1

分析：（1）把x=65，y=55；x=75，y=45代入y=kx+b中，列方程组求k、b的值即可；
（2）根据利润W=（x-60）×销售量y，列出函数关系式；
（3）利用（2）的函数关系式，列方程求出当w=500时，销售单价x的值；
（4）利用（2）的函数关系式，配方成顶点式，可求最大利润．

解答：解：（1）根据题意得

65k+b=55 75k+b=45.

解得k=-1，b=120．
所求一次函数的表达式为y=-x+120．（3分）

（2）W=（x-60）•（-x+120）=-x²+180x-7200=-（x-90）²+900，（6分）

（3）由W=500，得500=-x²+180x-7200，
整理得，x²-180x+7700=0，解得，x₁=70，x₂=110．
因为要尽量扩大销售量，所以当x=70时，销售利润为500元．（8分）

（4）∵抛物线的开口向下，
∴当x=90时，w有最大值，此时w=900，
∴当销售单价定为90元时，商场可获得最大利润，最大利润是900元．（10分）

点评：本题考查了二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．