Question

（1）若a+

1

a

=2，则a²+

1

a2

=

 

，a⁴+

1

a4

=

 

（2）若a+

1

a

=n，则a²+

1

a2

=

 

，a⁴+

1

a4

=

 

，（用含有n的式子的表示）．
（3）若a+

1

a

=2，下列等式：
①（a²+

1

a2

）+（a⁴+

1

a4

）+…+（a²ⁿ+

1

a2n

）=2n；
②（a²+

1

a2

）+（a⁴+

1

a4

）++…+（a²ⁿ+

1

a2n

）=2ⁿ，
当n为自然数时，有且仅有一个成立，请选择，并说明理由．

Answer 1

考点：完全平方公式

专题：

分析：（1）直接利用完全平方公式求出即可；
（2）直接利用完全平方公式求出即可；
（3）利用（1）中所求进而得出变化规律，即可得出答案．

解答：解：（1）∵a+

1

a

=2，则（a+

1

a

）²=4，
∴a²+

1

a2

=2，
∴（a²+

1

a2

）²-2=2
∴a⁴+

1

a4

=2．
故答案为：2，2；

（2）∵a+

1

a

=n，
∴（a+

1

a

）²=n²，
则a²+

1

a2

=n²-2，
∴（a²+

1

a2

）²=（n²-2）²，
∴a⁴+

1

a4

=n⁴-4n²+2，（用含有n的式子的表示）；
故答案为：n²-2，n⁴-4n²+2；

（3）若a+

1

a

=2，（a²+

1

a2

）+（a⁴+

1

a4

）+…+（a²ⁿ+

1

a2n

）=2n；
当n为自然数时，上式成立，
理由：由（1）得：a²+

1

a2

=2，a⁴+

1

a4

=2，
则a²ⁿ+

1

a2n

=2；
故（a²+

1

a2

）+（a⁴+

1

a4

）+…+（a²ⁿ+

1

a2n

）=2+2+…+2=2n．

点评：此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．