已知点C为线段AB上一点.分别以AC.BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE.且CA=CD.CB=CE.∠ACD=∠BCE.直线AE与BD交于点F．(1)如图1.若∠ACD=60°.则∠AFD=60°,(2)如图2.若∠ACD=α.连接CF.则∠AFC=90°-$\frac{1}{2}α$,(3)将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转如图3.连接AE.AB.BD.∠ABD=80°.求∠EAB的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

12．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．

（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFD=60°；
（2）如图2，若∠ACD=α，连接CF，则∠AFC=90°-$\frac{1}{2}α$（用含α的式子表示）；
（3）将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转如图3，连接AE、AB、BD，∠ABD=80°，求∠EAB的度数．

分析（1）求出∠ACE=∠DCB，证△ACE≌△DCB，推出∠CAE=∠CDB，求出∠AFB=∠CDA+∠DAC，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）求出∠ACE=∠DCB，证△ACE≌△DCB，推出∠CAE=∠CDB，求出∠AFB=∠CDA+∠DAC，根据三角形内角和定理求出∠AFB，然后根据圆周角定理和等腰三角形的性质即可得到结论；
（3）由△ACD是等边三角形，得到∠ACD=60°，得到∠CAB+∠CDB=360°-60°-80°=220°，根据全等三角形的性质得到∠CAE=∠CDB，即可得到结论．

解答解：（1）∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
∴∠AFB=∠CDB+∠CDA+∠DAE
=∠CDA+∠DAE+∠BAE
=∠CDA+∠DAC
=180°-60°
=120°，
∴∠AFD=60°
故答案为：60°．

（2）解：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
∴∠AFB=∠CDB+∠CDA+∠DAE
=∠CDA+∠DAE+∠BAE
=∠CDA+∠DAC
=180°-∠ACD
=180°-α，
∵∠CAE=∠CDB，
∴A，C，F，D四点共圆，
∴∠ADC=∠AFC，
同理∠CFB=∠BEC，
∵AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∴∠AFC=$\frac{1}{2}∠$AFB=90°-$\frac{1}{2}α$；
故答案为：90°-$\frac{1}{2}α$；

（3）∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∵∠ABD=80°，
∴∠CAB+∠CDB=360°-60°-80°=220°，
∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
∴∠CAE+∠CAB=220°，
∴∠EAB=140°．

点评本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ACE≌△DCB．

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