Question

如图是一张传说中的“藏宝图”，图上除标明了A﹑B﹑C三点的位置以外，并没有直接标出”宝藏”的位置，但图上注有寻找“宝藏”的方法：把直角△ABC补成矩形，使矩形的面积是ABC的2倍，“宝藏”就在矩形未知的顶点处，那么“宝藏”的位置可能是

 

．（用坐标表示）

Answer 1

分析：如何补成符合要求的矩形是关键．有2种方法：①以两直角边为邻边组成矩形；②以斜边为一边，直角顶点在对边上补成矩形．分别根据图形计算求解．

解答：解：由图上可知，以原三角形的直角顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，直角三角形的两个锐角分别为30°和60°，两条直角边长分别为2和2

3

，且把直角△ABC补成矩形，有三种可能：
（1）让相同的直角三角形与原三角形斜边重合的，这样面积为原来的2倍，另一个顶点坐标为（2，2

3

）；
（2）以原三角形的斜边为矩形的一边补成矩形，如图所示：

在原三角形的斜边上作出过直角顶点的高，垂足为点H，则把原三角形分成两个直角三角形了，以长为2的直角边为斜边，再补一个与这个小直角三角形重合斜边的小直角三角形的顶点D，即为矩形的顶点D，以长为2

3

的直角边为斜边，再补一个与这个小直角三角形重合斜边的小直角三角形的顶点F，即为矩形的顶点F，
则点D到坐标原点的距离=2×cos60°=2×

1

2

=1，D点的横坐标=-1×cos60°=-

1

2

，点D的纵坐标=-1×sin60°=-

3

2

，点D的坐标为（-

1

2

，-

3

2

）；
点F到原点的距离=2

3

×cos30°=3，F点的横坐标=3×cos60°=

3

2

，
点F的纵坐标=3×sin60°=-

3 3

2

，点F的坐标为（

3

2

，

3 3

2

）．
所以填：（2，2

3

）或（-

1

2

，-

3

2

）或（

3

2

，

3 3

2

）．

点评：本题考查了在平面直角坐标系中用特殊三角函数求点坐标的能力．