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20.如图,PA、PB切⊙O于点A、B,PO与AB交于点C,PO交⊙O于点D,且PA=8,PO=10,则OC=$\frac{18}{5}$.

分析 连结OA,如图,由切线长定理得PA=PB,PO平分∠APB,根据切线的性质得OA⊥PA,再利用等腰三角形的性质可判断PC⊥AB,接着利用勾股定理可计算出OA=6,然后证明Rt△OAC∽Rt△OPA,则可利用相似比计算出OC.

解答 解:连结OA,如图,
∵PA、PB切⊙O于点A、B,
∴PA=PB,PO平分∠APB,OA⊥PA,
∴PC⊥AB,
在Rt△OAP中,OA=$\sqrt{O{P}^{2}-P{A}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6,
∵∠COA=∠AOP,
∴Rt△OAC∽Rt△OPA,
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OA}{OP}$,即$\frac{OC}{6}$=$\frac{6}{10}$,
∴OC=$\frac{18}{5}$.
故答案为$\frac{18}{5}$.

点评 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.也考查了相似三角形的判定与性质.

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