Question

如图，正方形ABCD中，将∠BAD绕点A顺时针旋转，角的两边分别交CD边于点E，CB边的延长线点F上，连接EF交BD于点M．
（1）求证：FB=DE；
（2）给出线段EC与BM的数量关系，并证明．

Answer 1

考点：旋转的性质,正方形的性质

专题：计算题

分析：（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，再根据旋转的性质得到∠EAF=∠BAD=90°，则根据等角的余角相等得到∠BAF=∠DAE，于是根据“AAS”可判断△ADE≌△ABF，所以FB=DE；
（2）作EN∥CB交BD于N，作NH⊥BC于H，如图，根据正方形的性质得∠CBD=∠CDB=45°，由此可判断△DNE和△BHN都是等腰直角三角形，所以EN=DE，NH=CE，BN=

2

NH，再证明△MBF≌△MNE，得到BM=NM，所以BN=2BM，于是有2BM=

2

CE，所以CE=

2

BM．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵∠BAD绕点A顺时针旋转，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠DAE，
在△ADE和△ABF中，

∠ADE=∠ABF ∠DAE=∠BAF AD=AB

，
∴△ADE≌△ABF，
∴FB=DE；
（2）解：CE=

2

BM．理由如下：
作EN∥CB交BD于N，作NH⊥BC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴△DNE和△BHN都是等腰直角三角形，
∴EN=DE，NH=CE，BN=

2

NH，
∴BF=NE，
∵NE∥BF，
∴∠MFB=∠MEN，
在△MBF和△MNE中，

∠MFB=∠MEN ∠BMF=∠NME BF=NE

，
∴△MBF≌△MNE（AAS），
∴BM=NM，
∴BN=2BM，
∴2BM=

2

CE，
∴CE=

2

BM．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．