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如图,四边形ABCD为圆内接四边形,对角线AC、BD交于点E,延长DA、CB交于点F,且∠CAD=60°,DC=DE.
求证:
(1)AB=AF;
(2)A为△BEF的外心(即△BEF外接圆的圆心).

【答案】分析:(1)根据圆内接四边形的性质和三角形的内角和定理进行证明;
(2)根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等的性质只需证明AB=AF=AE,根据等腰三角形的性质和判定进行证明.
解答:证明:(1)∠ABF=∠ADC=120°-∠ACD=120°-∠DEC
=120°-(60°+∠ADE)=60°-∠ADE,(4分)
而∠F=60°-∠ACF,(6分)
因为∠ACF=∠ADE,(7分)
所以∠ABF=∠F,所以AB=AF.(8分)

(2)四边形ABCD内接于圆,所以∠ABD=∠ACD,(10分)
又DE=DC,所以∠DCE=∠DEC=∠AEB,(12分)
所以∠ABD=∠AEB,
所以AB=AE.(14分)
∵AB=AF,
∴AB=AF=AE,即A是三角形BEF的外心.(16分)
点评:综合运用了圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外心的性质.
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