Question

14．如图1，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6$\sqrt{3}$，AC，BD相交于点O．
（1）求边AB的长；
（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别于边BC，CD相交于E，F，连接EF与AC相交于点G．
①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；
②旋转过程中是否存在线段EF最短，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质和勾股定理求出AB的长；
（2）①证明△EAC≌△FAD，得到AE=AF，根据等边三角形的判定得到结论；
（3）根据垂线段最短进行计算即可．

解答 解：（1）∵AC=6，BD=6$\sqrt{3}$，
∴OA=3，BO=3$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=6；
（2）①△AEF是等边三角形，
∵OA=3，AB=6，
∴∠ABO=30°，
∴∠BAO=60°，
∵∠EAC+∠CAF=60°，∠FAD+∠CAF=60°，
∴∠EAC=∠FAD，
在△EAC和△FAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠FAD}\\{AC=AD}\\{∠ACE=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△FAD，
∴AE=AF，又∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形；
②当AE⊥BC时，AE最小，即线段EF最短，
在等边△ABC中，AB=6，
∴AE=3$\sqrt{3}$，
则当旋转至AE⊥BC时线段EF最短，最小值是3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是旋转变换的性质和菱形的性质，掌握菱形的四条边相等，对角线互相垂直是解题的关键．