Question

9．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4分别交x轴，y轴于点A，C，点D（m，2）在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且OB=3OC．点E是y轴上任意一点记点E为（0，n）．
（1）求直线BC的关系式；
（2）连结DE，将线段DE绕点D按顺时针旋转90°得线段DG，作正方形DEFG，是否存在n的值，使正方形DEFG的顶点F落在△ABC的边上？若存在，求出所有的n值并直接写出此时正方形DEFG与△ABC重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出点A，C坐标，进而得出点B坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）分两种情况，先判断出△DEM≌△EFN进而得出点F的坐标，由点F在边上，建立方程即可得出n值，最后用面积的差即可．

解答 解：（1）∵点A，C是直线y=2x+4和x，y轴的交点，
∴A（-2，0），C（0，4），
∵OB=3OC=12，
∴B（12，0），
设直线BC的解析式为y=kx+4，
∴12k+4=0，
∴k=-$\frac{1}{3}$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+4；

（2）∵点D（m，2）在直线AC上；
∴2=2m+4，
解得m=-1．
∴点D的坐标为（-1，2）；
①当点F落在BC边上时，如图1，

作DM⊥y轴于M，FN⊥y轴于N，
在△DEM与△EFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DMN=∠ENF=90°}\\{∠DEM=∠EFN}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△EFN（AAS），
∴NF=EM=n-2，EN=DM=1
∴F为（n-2，n-1）
∴n-1=-$\frac{1}{3}$（n-2）+4，
∴n=$\frac{17}{4}$；
∴E（0，$\frac{17}{4}$），
∴DE²=1+（$\frac{17}{4}$-2）²=1+$\frac{81}{16}$，CE=$\frac{17}{4}$-4=$\frac{1}{4}$，DM=1，FN=$\frac{9}{4}$
正方形DEFG与△ABC重叠部分的面积
=S_{正方形DEFG}-S_△CED-S_△CEF=DE²-$\frac{1}{2}$CE•DM-$\frac{1}{2}$CE•FN=1+$\frac{81}{16}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$（1+$\frac{9}{4}$）=$\frac{181}{32}$
②
当点F落在AB边上时，如图2，

作DM⊥y轴于M，
由①同理可得△DEM≌△EFO，
∴OE=DM=1，
即n=1；
∴DE²=1+（1-2）²=2
正方形DEFG与△ABC重叠部分的面积=S_{正方形DEFG}=DE²=2；
③当F在AC边上时显然不合题意，舍去，

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判断和性质，几何图形的面积的计算方法，解本题的关键是用方程的思想解决问题，是一道中等难度的题目．