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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    在直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2tx+t2-t（t＞0）与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），直线l：y=kx经过抛物线的顶点C，与抛物线的另一个交点为D．
    （1）求抛物线的顶点C的坐标（用含t的代数表示），并求出直线l 的解析式；
    （2）如图①，当t=
    1
    4
    时，探究AC与BD的位置关系，并说明理由；
    （3）当t≠1时，设△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，用含t的代数式表示
    S1
    S2
    的值．
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    分析：（1）先把抛物先的解析式化为顶点式的形式，求出其顶点坐标，再把其顶点坐标代入y=kx即可求出k的值，进而求出直线l的解析式；
    （2）把t=
    1
    4
    代入抛物线解析式y=（x-t）2-t中，得y=（x-
    1
    4
    ）2-
    1
    4
    ，令y=0即可求出A、B两点的坐标，把此抛物线的解析式与直线l的解析式联立可求出C、D两点的坐标，再由tan∠DBA=tan∠CAB=
    1
    2
    可得出∠DBA=∠CAB，由平行线的判定定理可知AC∥BD；
    （3）由△ABC、△ABD同底可知
    S1
    S2
    =|
    yC
    yD
    |，把直线l与抛物线的解析式联立求出x1，x2的值，代入直线解析式可得出yC，yD的值，进而可得出结论．
    解答：解：（1）y=x2-2tx+t2-t=（x-t）2-t，
    ∴顶点C的坐标为（t，-t），
    ∵y=kx经过抛物线的顶点C，
    ∴将点C代入y=kx，即-t=kt，
    ∵t≠0，
    ∴k=-1，
    ∴直线l的解析式为y=-x；

    （2）把t=
    1
    4
    代入抛物线解析式y=（x-t）2-t中，得y=（x-
    1
    4
    ）2-
    1
    4
    ，令y=0，解得：x1=
    3
    4
    ，x2=-
    1
    4
    ，
    ∴A（-
    1
    4
    ，0）、B（
    3
    4
    ，0）
    联立方程
    y=-x
    y=(x-
    1
    4
    )    2    -
    1
    4
    ，解得：x1=-
    3
    4
    ，x2=
    1
    4
    ，
    ∴C（
    1
    4
    ，-
    1
    4
    ）、D（-
    3
    4
    ，
    3
    4
    ）
    ∴tan∠DBA=tan∠CAB=
    1
    2
    ，
    ∴∠DBA=∠CAB，
    ∴AC∥BD；

    （3）∵△ABC、△ABD同底，
    ∴
    S1
    S2
    =|
    yC
    yD
    |
    联立方程
    y=-x
    y=(x-t)2-t
    ，
    解得x1=t，x2=t-1，
    ∴yC=-t，yD=1-t，
    ∴
    S1
    S2
    =|
    yC
    yD
    |=|
    -t
    1-t
    |=
    t
    1-t
    (0＜t＜1)
    t
    t-1
    (t＞1)
    ．
    点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到三角形的面积公式、正比例函数的性质、平行线的判定定理，涉及面较广，难度较大．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    首先，我们看两个问题的解答：
    问题1：已知x＞0，求x+
    3
    x
    的最小值．
    问题2：已知t＞2，求
    t2-5t+9
    t-2
    的最小值．
    问题1解答：对于x＞0，我们有：x+
    3
    x
    =(
    		x
    -
    		3
    		x
    )2+2
    		3
    ≥2
    		3
    ．当
    		x
    =
    		3
    		x
    ，即x=
    		3
    时，上述不等式取等号，所以x+
    3
    x
    的最小值2
    		3
    ．
    问题2解答：令x=t-2，则t=x+2，于是
    t2-5t+9
    t-2
    =
    (x+2)2-5(x+2)+9
    x
    =
    x2-x+3
    x
    =x+
    3
    x
    -1    ．
    由问题1的解答知，x+
    3
    x
    的最小值2
    		3
    ，所以
    t2-5t+9
    t-2
    的最小值是2
    		3
    -1    ．
    弄清上述问题及解答方法之后，解答下述问题：
    在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k＞0，b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3．
    （1）用b表示k；
    （2）求△AOB面积的最小值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A，C分别在y轴，x轴上，点B坐标为（6，6），抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B两点，且3a-b=-1．
    （1）求a，b，c的值；
    （2）如果动点E，F同时分别从点A，点B出发，分别沿A→B，B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E，F随之停止运动，设运动时间为t秒，△EBF的面积为S．
    ①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
    ②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网在直角坐标系xoy中，函数y=4x的图象与反比例函数y=
    kx
    （k＞0）的图象有两个公共点A、B（如图），其中点A的纵坐标为4过点A作x轴的垂线，再过点B作y轴的垂线，两垂线相交于点C．
    （1）求点C的坐标；
    （2）求△ABC的面积．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•北京二模）已知：如图，在直角坐标系xOy中，点A（8，0）、B（0，6），点C在x轴的负半轴上，AB=AC．动点M在x轴上从点C向点A移动，动点N在线段AB上从点A向点B移动，点M、N同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位，移动时间为t秒（0＜t＜10）．
    （1）设△AMN的面积为y，求y关于t的函数关系解析式；
    （2）求四边形MNBC的面积最小是多少？
    （3）求时间t为何值时，△AMN是等腰三角形？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•鞍山三模）如图，在直角坐标系xOy中，A、B是x轴上的两点，以AB为直径的圆交y轴于C，设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x2-mx+n．方程x2-mx+n=0的两根倒数和为-4．
    （1）求n的值；
    （2）求此抛物线的解析式；
    （3）设平行于x轴的直线交此抛物线于E、F两点，问是否存在此线段EF为直径的圆恰好与x轴相切？若存在，求出此圆的半径；若不存在，说明理由．

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