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精英家教网已知:如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,垂足为A,以腰BC为直径的半圆O切AD于点E,连接BE,若BC=6,∠EBC=30°,求梯形ABCD的面积.
分析:连接EC,EO.根据梯形的面积等于梯形的中位线长乘以高,显然中位线即是半圆的半径,即为3.故只需求得该梯形的高.根据梯形的中位线,只需求得DE的长,首先根据30度的直角三角形BCE求得CE的长,再根据弦切角定理求得∠CED=30°,进一步根据锐角三角函数求得DE的长,再根据梯形的面积公式进行计算.
解答:精英家教网解:如图
连接EC,∵BC为半圆O的直径,
∴BE⊥EC(1分)
∵∠EBC=30°,
∴EC=
1
2
BC=
1
2
×6=3;
连接OE,
∴OE=OB=3∠BEO=30°
∵AD与⊙O相切于点E,
∴OE⊥AD
∴∠OEC=60°,
∴∠DEC=30°,
∴DC=
1
2
EC=
3
2

∴DE=
EC2-DC2
=
3
3
2
;(3分)
∵OE∥DC∥AB,OC=OB,
∴OE是梯形的中位线,
∴AE=DE=
3
3
2
,(5分)
∴AD=2DE=3
3

∵AD⊥AB,
∴DA为梯形ABCD的高
∴S梯形ABCD=OE•AD=3×3
3
=9
3
.(7分)
点评:综合运用了切线的性质定理、平行线等分线段定理、梯形的中位线定理.能够发现此图中30度的直角三角形,熟练运用特殊角的锐角三角函数值进行计算.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:2011年河南省周口市初一下学期相交线与平行线专项训练 题型:解答题

如图,以Rt△ABO的直角顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=4,OB=3,一动点P从O出发沿OA方向,以每秒1个

单位长度的速度向A点匀速运动,到达A点后立即以原速沿AO返回;点Q从A点出发

沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动.当Q到达B时,P、Q两点同时停止

运动,设P、Q运动的时间为t秒(t>0).

(1) 试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式;

(2) 在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折,使得点A恰好落在AB边的点D处,如图①.

求出此时△APQ的面积.

(3) 在点P从O向A运动的过程中,在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯

形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

(4) 伴随着P、Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D,交折线QB-BO-OP于点F. 当DF经过原点O时,请直接写出t的值.

 

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科目:初中数学 来源:2011年河南省周口市初一下学期平移专项训练 题型:解答题

如图,以Rt△ABO的直角顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=4,OB=3,一动点P从O出发沿OA方向,以每秒1个

单位长度的速度向A点匀速运动,到达A点后立即以原速沿AO返回;点Q从A点出发

沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动.当Q到达B时,P、Q两点同时停止

运动,设P、Q运动的时间为t秒(t>0).

(1) 试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式;

(2) 在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折,使得点A恰好落在AB边的点D处,如图①.

求出此时△APQ的面积.

(3) 在点P从O向A运动的过程中,在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯

形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

(4) 伴随着P、Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D,交折线QB-BO-OP于点F. 当DF经过原点O时,请直接写出t的值.

 

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