Question

如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点．已知：A(－2，－6)，C(1，－3),AD,BC交于E

　

(1)求证：E点在y轴上；(4分)

(2)如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程．(4分)

(3)如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k＞0)个单位，此时AD与BC相交于点，如图②，求△AC的面积S关于k的函数解析式．(4分)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(本小题介绍二种方法，供参考) 　　方法一：过E作E⊥x轴，垂足∴AB∥E∥DC 　　∴ 　　又∵D＋B＝DB 　　∴ 　　∵AB＝6，DC＝3，∴E＝2 　　又∵，∴ 　　∴D＝DO，即与O重合，E在y轴上 　　方法二：由D(1，0)，A(－2，－6)，得DA直线方程：y＝2x－2① 　　再由B(－2，0)，C(1，－3)，得BC直线方程：y＝－x－2② 　　联立①②得 　　∴E点坐标(0，－2)，即E点在y轴上 　　(2)设抛物线的方程y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(－2，－6)，C(1，－3) 　　E(0，－2)三点，得方程组 　　解得a＝－1，b＝0，c＝－2 　　∴抛物线方程y＝－x2－2 　　(注：题目未告之E(0，－2)是抛物线的顶点，如设顶点式求解正确只能得6分) 　　(3)(本小题给出三种方法，供参考) 　　由(1)当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点作F⊥x轴垂足为F． 　　同(1)可得：得：F＝2 　　方法一：又∵F∥AB，∴ 　　S△AE′C＝ S△ADC－ S△E′DC＝ 　　＝＝DB＝3＋k 　　S＝3＋k为所求函数解析式 　　方法二：∵BA∥DC，∴S△BCA＝S△BDA 　　∴S△AE′C＝S△BDE′ 　　∴S＝3＋k为所求函数解析式． 　　证法三：S△DE′C∶S△AE′C＝D∶A＝DC∶AB＝1∶2 　　同理：S△D E′C∶S△DE′B＝1∶2，又∵S△DE′C∶S△ABE′＝DC2∶AB2＝1∶4 　　∴ 　　∴S＝3＋k为所求函数解析式．