Question

已知关于x的三次多项式f（x）除以x²-1时，余式是2x-3，除以x²-4时，余式是-3x-4时，求这个三次多项式．

Answer 1

分析：设f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），f（x）除以x²-1，x²-4时，商式分别为ax+m，ax+n，则ax³+bx²+cx+d=（x²-1）（ax+m）+2x-3①ax³+bx²+cx+d=（x²-4）（ax+n）-3x-4②，用特值法列出方程组，从而确定a，b，c，d这4个系数．

解答：解：设f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
f（x）除以x²-1，x²-4时，
商式分别为ax+m，ax+n，
则ax³+bx²+cx+d=（x²-1）（ax+m）+2x-3①，
ax³+bx²+cx+d=（x²-4）（ax+n）-3x-4②，
在①式中分别取x=1，-1时，
a+b+c+d=-1③
-a+b-c+d=-5④
在②式中分别取x=2，-2时，
8a+4b+2c+d=-10⑤
-8a+4b-2c+d=2⑥
联立③④⑤⑥，解得：a=-

5

3

，b=-

1

3

，c=

11

3

，d=-

8

3

．
所以所求的三次多项式为f（x）=-

5

3

x³-

1

3

x²+

11

3

x-

8

3

．

点评：此题考查多项式的除法，利用了被除式=商×除式+余式，用特值法列方程组求解，难度较大．