Question

已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，AB=15cm，
（1）求证：BD+DE=AC．
（2）求△DBE的周长．

Answer 1

解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∴BC=BD+CD=BD+DE，
AC=BC，
∴AC=BD+DE；

（2）∵CD=DE，AD=AD，∠C=∠AED=90°，
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE，
∵AC=BD+DE，
∴BD+DE=AE，
∴△BDE周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15cm．
分析：（1）因为AC=BC=BD+CD，只要证明CD=DE即可，又因为AD平分∠BAC，则CD=DE；
（2）由（1）可知AC=BD+DE，由CD=DE，AD=AD，∠C=∠AED=90°，可证△ACD≌△AED，则AC=AE，所以BD+DE+BE=AC+BE=AE+BE=AB．
点评：本题考查了角平分线性质，等腰三角形的性质；根据性质将线段长进行等效转化是一种常常用到的方法，注意掌握．