Question

5．如图，△ABC在平面直角坐标系中，且A（1，3）、B（-4，1）、C（-3，-2）．
（1）在图中画出线段BC关于y轴对称的线段B₁C₁，并直接写出点C₁的坐标为（3，-2）；
（2）在（1）的基础上，直接写出△AB₁C₁的面积为5.5；
（3）在x轴上有一条长度是1的运动线段MN（点M在点N左边），使得BM+MN+NA最小，请画出点M．（保留必要的画图的痕迹）．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称的性质，得到线段BC的端点关于y轴对称的点，再连接B₁C₁即可；根据点C₁的位置即可得出点C₁的坐标；
（2）根据割补法即可得到△AB₁C₁的面积；
（3）作点B关于x轴的对称点B'，作AA'∥x轴，使得AA'=MN=1，连接A'B'交x轴于一点，则该交点即为点M．

解答 解：（1）如图所示，线段B₁C₁即为所求，点C₁的坐标为（3，-2）；

故答案为：（3，-2）；
（2）△AB₁C₁的面积为3×5-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×3×1-$\frac{1}{2}$×2×5=5.5；
故答案为：5.5；
（3）如图，作点B关于x轴的对称点B'，作AA'∥x轴，使得AA'=MN=1，连接A'B'交x轴于一点，则该交点即为点M，连接AN，
由AA'∥MN，AA'=MN，可得四边形A'MNA为平行四边形，故AN=A'M，
由轴对称的性质，可得BB'M，故BM+AN=B'M+A'M=A'B'（最短），
而MN的长为定值，故此时BM+MN+NA最小．

点评 本题主要考查了利用轴对称变换进行作图以及最短路线问题，画一个图形的轴对称图形时，是先从确定一些特殊的对称点开始．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形．