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在半径等于5cm的圆内有长为5cm的弦,则此弦所对的圆周角为( )
A.120°
B.30°或120°
C.60°
D.60°或120°
【答案】分析:根据题意画出相应的图形,连接OA,OB,在优弧AB上任取一点E,连接AE,BE,在劣弧AB上任取一点F,连接AF,BF,过O作OD⊥AB,根据垂径定理得到D为AB的中点,由AB的长得出AD的长,再由OA=OB,OD与AB垂直,根据三线合一得到OD为角平分线,在直角三角形AOD中,利用锐角三角函数定义及AD与OA的长,求出∠AOD的度数,可得出∠AOB的度数,利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍,可得出∠AEB的度数,再利用圆内接四边形的对角互补可得出∠AFB的度数,综上,得到此弦所对的圆周角的度数.
解答:解:根据题意画出相应的图形为:

连接OA,OB,在优弧AB上任取一点E,连接AE,BE,在劣弧AB上任取一点F,连接AF,BF,
过O作OD⊥AB,则D为AB的中点,
∵AB=5cm,∴AD=BD=cm,
又OA=OB=5,OD⊥AB,
∴OD平分∠AOB,即∠AOD=∠BOD=∠AOB,
∴在直角三角形AOD中,
sin∠AOD===
∴∠AOD=60°,
∴∠AOB=120°,
又圆心角∠AOB与圆周角∠AEB所对的弧都为
∴∠AEB=∠AOB=60°,
∵四边形AEBF为圆O的内接四边形,
∴∠AFB+∠AEB=180°,
∴∠AFB=180°-∠AEB=120°,
则此弦所对的圆周角为60°或120°.
故选D.
点评:此题考查了圆周角定理,垂径定理,等腰三角形的性质,锐角三角函数定义,以及圆内接四边形的性质,是一道综合性较强的题.本题有两解,学生做题时注意不要漏解.
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