Question

已知

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；…你能总结出

1

n(n+1)

等于什么吗？（其中n为正整数）
根据找到的规律计算：
（1）

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

；（2）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+

1

7×9

+

1

9×11

．

Answer 1

分析：由已知的式子，我们就可以看出当第n项时，就应该是

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，然后根据此规律进行解答即可．

解答：解：（1）∵

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∵

1

1×1

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

（2）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+

1

7×9

+

1

9×11

=

1

2

×（1-

1

3

）+

1

2

×（

1

3

-

1

5

）+

1

2

×（

1

5

-

1

7

）+

1

2

×（

1

7

-

1

9

）+

1

2

×（

1

9

-

1

11

）
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-…-

1

11

）
=

5

11

．

点评：本题的关键是找出式子的规律．然后用得出的规律得出所求的值．