Question

【小题1】问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=DF，则的值为_____．

【小题2】拓展
问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．

【小题3】推广
问题3 如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【小题1】的值为  1
【小题2】证明：如图9．

∵CB=CA，
∴∠CAB=∠CBA．
∵∠MAC=∠MBC，
∴∠CAB－∠MAC=∠CBA－∠MBC，
即∠MAB=∠MBA．
∴MA=MB．
∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，
∴∠AFM=∠BEM=90°．
在△AFM与△BEM中，
           ∠AFM=∠BEM，
∠MAF =∠MBE，
            MA=MB，
∴△AFM≌△BEM．
∵点D是AB边的中点，
∴BD = AD．
在△BDE与△ADF中，
          BD = AD，
∠DBE =∠DAF，
BE = AF，
∴△BDE≌△ADF．              
∴DE=DF． 
【小题3】解：DE=DF．
证明：分别取AM，BM的中点G，H，连接DG，FG，DH，EH．（如图10）

∵点D，G，H分别是AB，AM，BM的中点，
∴DG∥BM，DH∥AM，且DG=BM，DH=AM．
∴四边形DHMG是平行四边形．
∴∠DHM =∠DGM，
∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，
∴∠AFM=∠BEM=90°．
∴FG=AM= AG，EH=BM= BH． 
∴FG= DH，DG= EH，    ∠GAF =∠GFA，∠HBE =∠HEB．
∴∠FGM =2∠FAM，∠EHM =2∠EBM．
∵∠FAM=∠EBM，
∴∠FGM =∠EHM．
∴∠DGM+∠FGM =∠DHM+∠EHM，即∠DGF=∠DHE．
在△EHD与△DGF中，
          EH = DG，
∠EHD =∠DGF，
HD = GF，
∴△EHD≌△DGF．              
∴DE=DF． 

解析