Question

12．有一列数：x₁、x₂、x₃、…、x_n-1、x_n，规定x₁=2，x₂-x₁=4，x₃-x₂=6，…，x_n-x_n-1=2n，则x₆=42；当$\frac{2}{{x}_{1}}+\frac{2}{{x}_{2}}+\frac{2}{{x}_{3}}+…+\frac{2}{{x}_{n}}$的结果是$\frac{2000}{1001}$时，n的值为1000．

Answer 1

分析 首先根据x₁=2，x₂-x₁=4，x₃-x₂=6，…，x₆-x₅=2×6=12，把每个算式的左右两边分别相加，求出x₆的值是多少即可；然后分别求出x₁、x₂、x₃、x₄、…，的值各是多少，再把$\frac{2}{{x}_{1}}+\frac{2}{{x}_{2}}+\frac{2}{{x}_{3}}+…+\frac{2}{{x}_{n}}$的每个分数都化成两个分数的差的形式，应用加法结合律，根据它们的结果是$\frac{2000}{1001}$时，求出n的值为多少即可．

解答 解：因为x₁=2，
x₂-x₁=4，
x₃-x₂=6，
…，
x₆-x₅=2×6=12，
把每个算式的左右两边分别相加，
可得x₆=2+4+6+…+12
=（2+12）×6÷2
=14×6÷2
=42
因为x₁=2=1×（1+1），
所以x₂=x₁+4=2+4=6=2×（2+1），
x₃=x₂+6=6+6=12=3×（3+1），
x₄=x₃+8=12+8=20=4×（4+1），
…，
所以x_n=n×（n+1），
所以$\frac{2}{{x}_{1}}+\frac{2}{{x}_{2}}+\frac{2}{{x}_{3}}+…+\frac{2}{{x}_{n}}$
=2×（$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+…+$$\frac{1}{n（n+1）}$）
=2×（$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=2×（$1-\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2n}{n+1}$
=$\frac{2000}{1001}$
解得n=1000，
即n的值为1000．
故答案为：42、1000．

点评 （1）此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：x_n=n×（n+1）．
（2）此题还考查了分数的简便算法，注意加法结合律的应用，解答此题的关键是把每个分数都化成两个分数的差的形式．