Question

5．如图，等腰Rt△ABC的直角边AB=2，点P、Q分别从A，C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．
（1）设AP为x，△PCQ的面积为S，求S与x的函数关系式．
（2）当AP的长为何值时，S_△PCQ=$\frac{1}{4}$S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）本题要分两种情况进行讨论：①当P在线段AB上；②当P在AB延长线上．△PBQ都是以BQ为底，PB为高，可据此得出S、x的函数关系式；
（2）先计算出△ABC的面积，然后将其值代入（1）中得出的函数式中，如果方程有解且符合题意，则能相等，否则就不能相等．

解答 解：（1）①当点P在线段AB上时，此时0＜x≤2．
∵AP=CQ=x，
∴BQ=2+x，PB=2-x．
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BQ•PB=$\frac{1}{2}$（2+x）（2-x）．
即S=$\frac{1}{2}$（4-x²）（0＜x＜2）；
②当点P在AB延长线上时，此时x＞2．
∵AP=CQ=x，
∴BQ=2+x，PB=x-2．
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BQ•PB=$\frac{1}{2}$（2+x）（x-2）．
即S=$\frac{1}{2}$（x²-4）（x＞2）；

（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2=2．
①令$\frac{1}{2}$（4-x²）=2×$\frac{1}{4}$，即x²=4，解得x=2或-2（不符合题意）；
②令$\frac{1}{2}$（x²-4）=2×$\frac{1}{4}$，即x²=4，解得x=x=2或-2（不符合题意）；
故当AP的长为2时，S_△PCQ=$\frac{1}{4}$S_△ABC．

点评 此题考查一元二次方程的实际运用，二次函数的应用，根据点的运动位置得出三角形的面积是解决问题的关键．