Question

【题目】如图，已知Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6．边长为4的等边△DEF沿射线AC运动（A、D、E、C四点共线）.当等边△DEF的边DF、EF与Rt△ABC的边AB分别相交于点M、N（M、N不与A、B重合）时，

设AD=x．

（1）则△FMN的形状是 _______ ,△ADM的形状是 _______；

（2）△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出的取值范围；

（3）若以点M为圆心，MN为半径的圆与边AC、EF同时相切，求此时MN的长．

Answer 1

【答案】（1）直角三角形 等腰三角形；（2）；（3）

【解析】

（1）直角三角形、等腰三角形

（2）∵△ADＭ是等腰三角形，
∴DM=AD=x ， FM=4-x.
又∵∠FED=60°，∠A=30°， ∴∠FNM=90°
∴MN=MF·SinF=，FN=MF=（4-x）

当0<x≤2时，

当2≤x<4时， CE=AE―AC=4+x-6=x-2
∵∠BCE=90°，∠PEA=60°，
∴PC=
∴
∴ =S△DEF―S△FMN―S△PCE=

（3）过点M作MG⊥AC于点G，由（2）得DM=x
∵∠MDG=60°， ∴MG=
∵∠MNF=90°，∠MFN=60°，∴MN=

要使以点M为圆心，MN长为半径的圆与边AC、EF相切，则有MG=MN，
即：解得x=2，
圆的半径MN=