Question

12．在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E是AB边的中点，EG∥BC，交AD于点F，EF=FG，连接DG．
（1）如图1，求证：四边形BEGD是平行四边形；
（2）如图2，连接DE、BF、CG，若AC=BF，CD=DF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度为CG的2倍的线段．

Answer 1

分析 （1）证明EF是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出BD=2EF，证出BD=EG，得出四边形BEGD是平行四边形；
（2）由HL证明Rt△BDF和Rt△ADC，得出BD=AD，CD=DF=$\frac{1}{2}$AD，BD=EG=2FG，得出CD=FG，证出四边形CDFG是平行四边形，因此CG=DF=$\frac{1}{2}$AD，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵点E是AB边的中点，EG∥BC，
∴F是AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴BD=2EF，∵EF=FG，
∴BD=EG，
∴四边形BEGD是平行四边形；
（2）解：BD=EG=AD=2CG；理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=AC}&{\;}\\{DF=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDF和Rt△ADC（HL），
∴BD=AD，
∵CD=DF=$\frac{1}{2}$AD，BD=EG=2FG，
∴CD=FG，
又∵FG∥CD，
∴四边形CDFG是平行四边形，
∴CG=DF=$\frac{1}{2}$AD，
∴BD=EG=AD=2CG，
即图2中长度为CG的2倍的线段是BD、EG、AD．

点评 本题考察了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．