Question

10．如图，已知正方形ABCD、AEFG边长分别为$\sqrt{2}$cm、2cm，将正方形ABCD绕点A旋转，连接BG、DE相交于点H．
（1）判断线段BG、DE的数量关系与位置关系，并说明理由．
（2）连接FH，在正方形ABCD绕点A旋转过程中，
①线段DH的最大值是2；
②求点H经过路线的长度．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质得出AD=AB，AE=AG，∠DAB=∠GAE=90°，进而得出∠DAE=∠BAG即可判断出△ADE≌△BAG，最后用互余即可判断出DE⊥BG；
（2）①判断出点H是正方形ABCD的外接圆上，即可得出结论；
②先判断出点H的运动轨迹，即可得出结论．

解答 解：DE=BG，DE⊥BG，
理由：如图，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AD=AB，AE=AG，∠DAB=∠EAG=90°，
∴∠DAE=∠BAG，
在△ADE和△ABG中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAE=∠BAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABG，
∴DE=BG，∠AED=∠AGB，
∵∠AGB+∠AMG=90°，
∴∠AED+∠AMG=90°，
∵∠AMG=∠EMH，
∴∠AED+∠EMH=90°，
∴∠EHG=90°，
∴DE⊥BG；
即：DE=BG，DE⊥BG；

（2）①由（1）知，∠EHG=90°=∠C，
∴点H是正方形ABCD的外接圆上，
∴DH是正方形ABCD的外接圆的弦，
∴DH最大就是正方形ABCD的外接圆的直径BD=2；
故答案为2；

②如图2，作出正方形AEFG的外接圆，
连接OC'，OC，FC，FC'，
由（1）知，∠EHG=90°=∠EFG，
∴点H在正方形AEFG的外接圆⊙O上，
点H的运动轨迹是如图2所示的$\widehat{CAC'}$这段弧，
∴当∠AGH越大，$\widehat{AC}$越长，
即：GH⊥AB时，∠AGH最大，
在Rt△ABG中，AB=$\sqrt{2}$，AG=2，
∴sin∠AGB=$\frac{AB}{AG}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠AGH=45°，
即：点H，C，E重合，
∴点H的运动轨迹是正方形AEFG的半圆，
∴点H经过路线的长度为$\frac{1}{2}$•2π•$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$π．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的证明，判断点在圆上的方法，解（1）的关键是判断出△ADE≌△BAG，解（2）的关键是判断出点H在正方形ABCD和正方形AEFG的外接圆上，是一道中等难度的中考常考题．