Question

14．设y=$\frac{{x}^{2}-2x-3}{2{x}^{2}+2x+1}$，求y的取值范围．

Answer 1

分析 将等式y=$\frac{{x}^{2}-2x-3}{2{x}^{2}+2x+1}$整理成关于x的方程：（2y-1）x²+2（y+1）x+y+3=0…（1）；该方程须有解，显然需要分2y-1=0和2y-1≠0两种情况；当2y-1=0时，方程（1）显然有解，而当2y-1≠0时，方程（1）便为一元二次方程，从而有△≥0即可解出y取值范围．

解答 解：将y=$\frac{{x}^{2}-2x-3}{2{x}^{2}+2x+1}$看作一个函数
由y=$\frac{{x}^{2}-2x-3}{2{x}^{2}+2x+1}$得：2yx²+2yx+y=x²-2x-3，
整理得：（2y-1）x²+2（y+1）x+y+3=0…（1）
将该式看成关于x的方程，方程有解：
①若2y-1=0，即y=$\frac{1}{2}$，带入上式可求出x
即：y可以取$\frac{1}{2}$
②若2y-1≠0，则方程（1）为一元二次方程，且该方程有解，
∴△=4（y+1）²-4（2y-1）（y+3）≥0
解之得：-4≤y≤1
综上所述，y的取值范围为：-4≤y≤1

点评 本题考查了分式有意义的取值范围，解题的关键是将等式y=$\frac{{x}^{2}-2x-3}{2{x}^{2}+2x+1}$整理成关于x的方程：（2y-1）x²+2（y+1）x+y+3=0…（1），然后讨论其有解的条件．