Question

设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积（须证明你的论断）．

Answer 1

分析：设△EFG为正方形ABCD的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F，G两点在正方形的一组对边上，连接KA，KD，易证E，K，G，D四点共圆，则∠KDE=∠KGE=60°，同理∠KAE=60°，可证△KAD也是一个正三角形，K必为一个定点，再分别求边长FG的最大值与最小值．

解答：证明：如图，设△EFG为正方形ABCD的一个内接正三角形，
作正△EFG的高EK，连接KA，KD，
∵∠EKG=∠EDG=90°，
∴E，K，G，D四点共圆，
∴∠KDE=∠KGE=60°，
同理，∠KAE=60°，
故△KAD也是一个正三角形，K必为一个定点．
又正三角形面积取决于它的边长，
当KF丄AB时，边长为1，这时边长最小，面积S=

3

4

也最小．
当KF通过B点时，边长为2•

2- 3

，这时边长最大，面积S=2

3

-3也最大．

点评：本题考查了四点共圆的判断，等边三角形的性质．关键是运用四点共圆证明新的等边三角形，得出定点．