Question

2．如图，Rt△ABC在直角坐标系中，AB与y轴交于点F，直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n），点P是射线FD上一点，△FEP与△AEO相似，则点P的坐标为（1，1）或（5，1）．

Answer 1

分析 首先求得F的坐标，反比例函数的解析式和E的坐标，即可证明FD∥x轴，然后分成△FEP∽△AEO和△FEP∽△AOE两种情况，根据相似三角形的对应边的比相等求得FP的长，从而求得P的坐标．

解答 解：在y=$\frac{1}{2}$x+1中令x=0，解得：y=1，则F的坐标是（0，1），
∵D的坐标是（4，1），
∴FD∥x轴．
∴∠BAC=∠BFD，则△FEP与△AEO相似时，∠BAC和∠BFD是对应角．
把（4，1）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=4，则反比例函数的解析式是：y=$\frac{4}{x}$．
当x=2时，y=n=2，
则E的坐标是（2，2）．
则OE=2$\sqrt{2}$．EF=$\sqrt{（2-1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AE=$\sqrt{（2+2）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
当△FEP∽△AEO时，$\frac{EF}{AE}$=$\frac{FP}{OA}$，即$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{FP}{2}$，
解得：FP=1，则P的坐标是（1，1）；
当△FEP∽△AOE时，$\frac{EF}{OA}$=$\frac{FP}{AE}$，即$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{FP}{2\sqrt{5}}$，解得：FP=5，则P的坐标是（5，1）．
故答案是：（1，1）或（5，1）．

点评 本题是一次函数与反比例函数以及相似三角形的判定与性质的综合题，考查相似三角形的判定定理，两组对应边的比相等，且夹角相等的两个三角形相似，注意到DF∥x轴，得到∠BAC=∠BFD是关键．