Question

9．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向300km处，以每小时10$\sqrt{7}$km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？

Answer 1

分析 （1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为E，若AE＞200则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AE⊥BF，则E是DG的中点，在Rt△ADE中，解出ED的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．

解答 解：（1）A城受到这次台风的影响，
理由：由A点向BF作垂线，垂足为E，
在Rt△ABC中，∠ABE=30°，AB=300km，则AE=150km，
因为150＜200，所以A城要受台风影响；

（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有
AG=200千米．
因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，
因为AE⊥BF，所以AE是DG的垂直平分线，ED=GE，
在Rt△ADE中，DA=200千米，AE=150千米，
由勾股定理得，ED=$\sqrt{D{A}^{2}-A{E}^{2}}$=50$\sqrt{7}$（千米），
则DG=2DE=100$\sqrt{7}$千米，
遭受台风影响的时间是：t=100$\sqrt{7}$÷10$\sqrt{7}$=10（小时）．
答：A城遭受这次台风影响10小时．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，正确利用勾股定理是解题关键．