Question

3．在△ABC中，∠ACB=45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC，如图①，且点D在线段BC上运动，试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论；
（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动，（1）中结论是否成立，说明理由．
（3）如果AB＜AC，如图③，且正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC=4$\sqrt{2}$，BC=3，CD=x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）

Answer 1

分析 （1）由∠ACB=45°，AB=AC，得∠ABD=∠ACB=45°；则∠BAC=90°，由正方形ADEF，可得∠DAF=90°，AD=AF，∠DAF=∠DAC+∠CAF；∠BAC=∠BAD+∠DAC；∴∠CAF=∠BAD．可证△DAB≌△FAC（SAS），得∠ACF=∠ABD=45°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD；
（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得出AC=AG，易证△GAD≌△CAF，所以∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD；
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC=4$\sqrt{2}$，BC=3，CD=x，求线段CP的长．考虑点D的位置，分两种情况去解答：①点D在线段BC上运动，已知∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．即DQ=4-x，易证△AQD∽△DCP，$\frac{CP}{DQ}$=$\frac{CD}{AQ}$，代入即可求的结果；②点D在线段BC延长线上运动时，∠BCA=45°，AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．过A作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，则△AGD∽△ACF，得CF⊥BD，由△AQD∽△DCP，$\frac{CP}{DQ}$=$\frac{CD}{AQ}$，代入即可求的结果．

解答 解：（1）CF⊥BD；
证明：∵AB=AC，∠ACB=45°，
∴∠ABC=45°，
由正方形ADEF得AD=AF，
∵∠DAF=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC，
在△DAB与△FAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠DAB=∠FAC}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF=∠ABD，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD；

（2）AB＞AC时，CF⊥BD的结论成立；
证明：过点A作GA⊥AC交BC于点G
∵∠ACB=45°，
∴∠AGD=45°，
∴AC=AG，
在△GAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AG}\\{∠CAF=∠GAD}\\{AF=AD}\end{array}\right.$，
∴△GAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD；

（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4，
∴DQ=4-x，△AQD∽△DCP，
∴$\frac{CP}{DQ}$=$\frac{CD}{AQ}$，
∴$\frac{CP}{4-x}$=$\frac{x}{4}$，
CP=-$\frac{{x}^{2}}{4}$+x，
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA=45°，
∴AQ=CQ=4，
∴DQ=4+x，
过A作AQ⊥BC，
∴∠Q=∠FAD=90°，∠ADQ=∠AFC，
则△AQD∽△ACF，
∴CF⊥BD，
∴△AQD∽△DCP，
∴$\frac{CP}{DQ}$=$\frac{CD}{AQ}$，
∴$\frac{CP}{4+x}$=$\frac{x}{4}$，
CP=$\frac{{x}^{2}}{4}$+x．

点评 本题考查了全等三角形性质及判定，相似三角形的判定及性质，正方形的性质等，构建全等三角形，相似三角形是解决此题的关键．