分析 (1)由∠ACB=45°,AB=AC,得∠ABD=∠ACB=45°;则∠BAC=90°,由正方形ADEF,可得∠DAF=90°,AD=AF,∠DAF=∠DAC+∠CAF;∠BAC=∠BAD+∠DAC;∴∠CAF=∠BAD.可证△DAB≌△FAC(SAS),得∠ACF=∠ABD=45°,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°.即CF⊥BD;
(2)过点A作AG⊥AC交BC于点G,可得出AC=AG,易证△GAD≌△CAF,所以∠ACF=∠AGD=45°,∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°.即CF⊥BD;
(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC=4$\sqrt{2}$,BC=3,CD=x,求线段CP的长.考虑点D的位置,分两种情况去解答:①点D在线段BC上运动,已知∠BCA=45°,可求出AQ=CQ=4.即DQ=4-x,易证△AQD∽△DCP,$\frac{CP}{DQ}$=$\frac{CD}{AQ}$,代入即可求的结果;②点D在线段BC延长线上运动时,∠BCA=45°,AQ=CQ=4,∴DQ=4+x.过A作AQ⊥BC交CB延长线于点Q,则△AGD∽△ACF,得CF⊥BD,由△AQD∽△DCP,$\frac{CP}{DQ}$=$\frac{CD}{AQ}$,代入即可求的结果.
解答 解:(1)CF⊥BD;
证明:∵AB=AC,∠ACB=45°,
∴∠ABC=45°,
由正方形ADEF得AD=AF,
∵∠DAF=∠BAC=90°,
∴∠DAB=∠FAC,
在△DAB与△FAC中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠DAB=∠FAC}\\{AD=AF}\end{array}\right.$,
∴△DAB≌△FAC(SAS),
∴∠ACF=∠ABD,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
即CF⊥BD;
(2)AB>AC时,CF⊥BD的结论成立;
证明:过点A作GA⊥AC交BC于点G
∵∠ACB=45°,
∴∠AGD=45°,
∴AC=AG,
在△GAD和△CAF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AG}\\{∠CAF=∠GAD}\\{AF=AD}\end{array}\right.$,
∴△GAD≌△CAF(SAS),
∴∠ACF=∠AGD=45°,∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
即CF⊥BD;
(3)过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q,
①点D在线段BC上运动时,
∵∠BCA=45°,可求出AQ=CQ=4,
∴DQ=4-x,△AQD∽△DCP,
∴$\frac{CP}{DQ}$=$\frac{CD}{AQ}$,
∴$\frac{CP}{4-x}$=$\frac{x}{4}$,
CP=-$\frac{{x}^{2}}{4}$+x,
②点D在线段BC延长线上运动时,
∵∠BCA=45°,
∴AQ=CQ=4,
∴DQ=4+x,
过A作AQ⊥BC,
∴∠Q=∠FAD=90°,∠ADQ=∠AFC,
则△AQD∽△ACF,
∴CF⊥BD,
∴△AQD∽△DCP,
∴$\frac{CP}{DQ}$=$\frac{CD}{AQ}$,
∴$\frac{CP}{4+x}$=$\frac{x}{4}$,
CP=$\frac{{x}^{2}}{4}$+x.
点评 本题考查了全等三角形性质及判定,相似三角形的判定及性质,正方形的性质等,构建全等三角形,相似三角形是解决此题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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