【题目】关于x的二次函数(k为常数)和一次函数.
(1)求证:函数的图象与x轴有交点.
(2)已知函数的图象与x轴的两个交点间的距离等于3,
①试求此时k的值.
②若,试求x的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)①k1=1,k2=;②当k=1时x<– 2或 x>2,当k=时,10<x<– 2.
【解析】
(1)证明△=b2-4ac≥0,便可得结论;
(2)①函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3,根据根与系数的关系列出k的方程,便可求解;
②分k=1和k=两种情况,依据y1>y2列出关于x的不等式,解之可得.
解:(1)证明:△=(2k1)2+8 k=4k24k+1+8k=(2k+1)2≥0,
∴函数y1=kx2+(2k1) x 2的图象与x轴有交点.
(2)解:①设的两根为,,则,,
,
函数的图象与轴的两个交点间的距离等于3,
,
,
解得,或;
②I.当k=1时,y1= x2+ x – 2,画出y1= x2+ x – 2和y2=x+2的图象,如图1所示,
由图知,y1与y2的交点分别为(2,0)和 (2,4),
∴当y1>y2时x<– 2或 x>2;
II.当k=时,y1=x2x – 2,
画出y1=x2x – 2和y2=x+2的图象,如图2所示,
由图知,y1与y2的交点分别为(2,0)和 (10,8),
∴当y1>y2时10<x<– 2.
综上所述,当k=1时x<– 2或 x>2,当k=时,10<x<– 2.
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【题目】数学兴趣活动课上,小致将等腰的底边与直线重合.
(1)如图,在中,,点在边所在的直线上移动,根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”,小致发现的最小值是____________.
(2)为进一步运用该结论,在(1)的条件下,小致发现,当最短时,如图,在中,作平分交于点点分别是边上的动点,连结小致尝试探索的最小值,小致在上截取使得连结易证,从而将转化为转化到(1)的情况,则的最小值为 ;
(3)解决问题:如图,在中,,点是边上的动点,连结将线段绕点顺时针旋转,得到线段连结,求线段的最小值.
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【题目】在平面直角坐标系中,过点P(0,a)作直线l分别交于点M、N,
(1)若m=4,MN∥x轴,,求n的值;
(2)若a=5,PM=PN,点M的横坐标为3,求m-n的值;
(3)如图,若m=4,n=-6,点A(d,0)为x轴的负半轴上一点,B为x轴上点A右侧一点,AB=4,以AB为一边向上作正方形ABCD,若正方形ABCD与都有交点,求d的范围.
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【题目】如图,将直角三角形纸片(,)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上折痕为AD,展开纸片(如图1);再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到(如图2),若,,则折痕EF的长为( )
A.B.C.D.5
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【题目】已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D,直线CD与x轴交于点E.
(1)求A、B的坐标;
(2)求点E的坐标;
(3)过线段OB的中点N作x轴的垂线并交直线CD于点F,则直线NF上是否存在点M,使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】冬季来临,某网店准备在厂家购进,两种暖手宝共个用于销售,若购买种暖手宝个,种暖手宝个,需要元;若购买种暖手宝个,种暖手宝个,则需要元
(1)购买,两种暖手宝每个各需多少元?
(2)①由于资金限制,用于购买这两种暖手宝的资金不能超过元,设购买种暖手宝个,求的取值范围;
②在①的条件下,购进种暖手宝不能少于个,则有哪几种购买方案?
(3)购买后,若一个种暖手宝运费为元,一个种暖手宝运费为元,在第问的各种购买方案中,购买个暖手宝,哪一种购买方案所付的运费最少?最少运费是多少元?
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【题目】如图,在△ABC中,AB=,∠B=45°,∠C=60°.
(1)求BC边上的高线长.
(2)点E为线段AB的中点,点F在边AC上,连结EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEF.
①如图2,当点P落在BC上时,求∠AEP的度数.
②如图3,连结AP,当PF⊥AC时,求AP的长.
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