Question

根据下列条件，求二次函数的解析式
（1）图象经过点（-1，3），（1，3），（2，6）；
（2）抛物线顶点坐标为（-1，9），并且与y轴交于（0，-8）；
（3）抛物线的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点为（-2，0），与y轴交于点（0，12）；
（4）图象顶点坐标是（2，-5），且过原点；
（5）图象与x轴的交点坐标是（-1，0），（-3，0）且函数有最小值-5；
（6）当x=2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2．

Answer 1

分析：（1）设y=ax²+bx+c；（2）、（4）设y=a（x+1）²+9；（3）、（5）、（6）设y=a（x-x₁）（x-x₂）．然后把已知点的坐标代入解方程，求出未知系数，最后确定解析式．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
把（-1，3），（1，3），（2，6）代入解析式得，
3=a-b+c①，
3=a+b+c②，
6=4a+2b+c③，
解由①②③组成的方程组得，a=1，b=0，c=2．
所以二次函数的解析式为y=x²+2．
（2）设y=a（x+1）²+9，
把（0，-8）代入解析式得，a=-17，
∴y=-17（x+1）²+9=-17x²-34x-8，
所以二次函数的解析式为y=-17x²-34x-8．
（3）∵对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点为（-2，0），
∴与x轴的另一个交点为（4，0），
设y=a（x+2）（x-4），
把（0，12）代入解析式得，a=-

3

2

，
∴y=-

3

2

（x+2）（x-4）=-

3

2

x²+3x+12，
所以二次函数的解析式为y=-

3

2

x²+3x+12．
（4）设y=a（x-2）²-5，
把（0，0）代入解析式得，a=

5

4

，
∴y=

5

4

（x-2）²-5=

5

4

x²-5x，
所以二次函数的解析式为y=

5

4

x²-5x．
（5）设y=a（x+1）（x+3），
根据题意可得对称轴为直线x=-2，又函数有最小值-5，
∴顶点坐标为（-2，-5），代入解析式得，a=-5．
∴y=-5（x+1）（x+3）=-5x²-20x-15，
所以二次函数的解析式为y=-5x²-20x-15．
（6）∵当x=2时，函数的最大值是1，即顶点坐标为（2，1），
∴抛物线的对称轴为直线x=2，而图象与x轴两个交点之间的距离为2，则交点坐标分别为（1，0），（3，0），
设y=a（x-1）（x-3），
把（2，1）代入解析式得，a=-1，
∴y=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3，
所以二次函数的解析式为y=-x²+4x-3．

点评：本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式和二次函数的性质．二次函数的一般式为y=ax²+bx+c；顶点式为y=a（x-k）²+h，其中（k，h）为顶点坐标；交点式为y=a（x-x₁）（x-x₂），其中x₁，x₂是抛物线与x轴交点的横坐标，能根据条件合理选择解析式．