Question

1．在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{1}{2}$x+a（a＞0）?分别与x 轴、y 轴交于A、B 两点，C、D 的坐标分别为 C（0，b）、D（2a，b-a）（b＞a）．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若点C、D关于直线AB的对称点分别为C′、D′．
①当b=3时，试问：是否存在满足条件的a，使得△BC′D′面积为$\frac{5}{2}$？
②当点C′恰好落在x轴上时，试求a 与b的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）先利用坐标轴上点的特点确定出点A，B坐标，进而得出BC=b-a，再利用点A，D坐标的得出AD=b-a=BC，另为利用A，D点的坐标特点得出AD∥BC即可得出结论；
（2）①利用对称性和（1）中得出的四边形ABCD是平行四边形，即可得出S_△BC'D'=S_△BCD，根据三角形的面积公式得出S_△BC'D'=a（3-a），建立方程，判断出此方程无解，即可得出不存在满足条件的a，使得△BC′D′面积为$\frac{5}{2}$；
②利用同角的余角相等得出，∠CC'O=∠ABO进而得出∠△CC'O∽△ABO，得出C'O=$\frac{b}{2}$，最后用勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）四边形ABCD是平行四边形，
理由：
∵直线y=-$\frac{1}{2}$x+a（a＞0）?分别与x 轴、y 轴交于A、B 两点，
∴A（2a，0），B（0，a），
∵C（0，b）、（b＞a）．
∴BC=b-a，
∵D（2a，b-a）．
∴AD=b-a=BC，
∵A（2a，0），D（2a，b-a）．
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，

（2）①不存在满足条件的a，使得△BC'D'的面积为$\frac{5}{2}$，
理由：如图1，连接BD，BD'，过点D作DE⊥y轴于E，
∴DE=OA=2a，
∵点C、D关于直线AB的对称点分别为C′、D′．
∴S_{平行四边形ABC'D}'=S_{平行四边形ABCD}，
∵DB，BD'分别是平行四边形ABCD，ABC'D的对角线，
∴S_△BC'D'=S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•DE=$\frac{1}{2}$（b-a）•2a=a（b-a），
∵b=3，
∴S_△BC'D'=a（3-a），
假设存在存在满足条件的a，使得△BC′D′面积为$\frac{5}{2}$，
∴a（3-a）=$\frac{5}{2}$，
∴2a²-6a+5=0，
而△=36-4×2×5=-4＜0，
∴此方程无解，
假设错误，
∴不存在满足条件的a，使得△BC'D'的面积为$\frac{5}{2}$，

②如图2，
连接CC'，则直线AB垂直平分线CC'，
∴∠CC'O+∠C'AB=90°，
∵∠C'AB+∠ABO=90°，
∴∠CC'O=∠ABO，
∵∠COC'=∠AOB=90°，
∴△CC'O∽△ABO，
∴$\frac{CO}{AO}=\frac{C'O}{BO}$，
∴$\frac{b}{2a}=\frac{C'O}{a}$，
∴C'O=$\frac{b}{2}$，
由轴对称的性质得，BC'=BC=b-a，
在Rt△BC'O中，OB²+C'O²=C'B²，
∴a²+（$\frac{b}{2}$）²=（b-a）²，
∴3b²-8ab=b（3b-8a）=0，
∵b＞a＞0，
∴3b-8a=0，
∴$\frac{a}{b}=\frac{3}{8}$，
∴a 与b的函数表达式a=$\frac{3}{8}$b（b＞0）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，三角形的面积公式，勾股定理轴对称的性质，一元二次方程的根的判别式等知识点，体现了数形结合的思想，判定出四边形ABCD是平行四边形是解本题的关键．