Question

已知△ABC是正三角形，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．
（1）如图，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，画出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不谢画法，但要保留画图痕迹）；
（2）若正三角形ABC的边长为3+2

3

，则（1）中画出的正方形E′F′P′N′的边长为

 

．

Answer 1

分析：（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示；
（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长．

解答：解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．

（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，
∵△ABC为正三角形，
∴AE′=BF′=

3

3

x．
∵E′F′+AE′+BF′=AB，
∴x+

3

3

x+

3

3

x=3+2

3

，
∴解得：x=3，
故答案为：3．

点评：本题考查了以位似变换、正三角形、正方形、直角三角形边角性质等重要知识点，有一定的难度．