Question

如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．

  （1）点B的坐标为　  ；用含t的式子表示点P的坐标为     ；(3分)

（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？(4分)

（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(3分)

 

Answer 1

解：（1）解法一：                                    解法二：

   ∵AB为⊙O的直径，                            ∵AB为⊙O的直径，∠B＝30°，

   ∴∠ACB＝90°．……1分                          ∴AC＝AB＝1，BC＝AB•cos30°＝

   ∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，               ∵弦CD⊥直径AB于点M，

   ∴BC＝AB•cos30°＝2×.                  ∴CD＝2CM，AB×CM＝AC×BC

   ∵弦CD⊥直径AB，∠B＝30°，                     ∴CD＝2CM＝2×

   ∴ CM＝BC=.                                   ＝2×＝

   CD＝2CM＝． （其它解法请酌情给分）

（2）证明：∵AE切⊙O于点A，AB为⊙O的直径，

    ∴∠BAE＝90°，∠ACE＝∠ACB＝90°，

    ∴∠ACE＝∠BAE＝90°．

    又∵∠E＝∠E，

    ∴Rt△ECA∽Rt△EAB．

    ∴．

    ∴AE²＝EB•EC． 26．解：（1）（6，4）；（）.（其中写对B点得1分）

（2）∵S_△OMP =×OM×，

∴S =×（6 -t）×=+2t．

   ＝（0 < t <6）．

∴当时，S有最大值．

     （3）存在．

    由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），

则直线ON的函数关系式为：．

   设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，

 

解方程组得

∴直线ON与MT的交点R的坐标为．

∵S_△OCN ＝×4×3＝6，∴S_△ORT ＝ S_△OCN ＝2．

① 当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR₁T₁，如图，作R₁D₁⊥y轴，D₁为垂足，则S_△OR1T1＝••••RD₁•OT ＝••b＝2.

∴，      b =.

∴b₁ ＝，b₂ ＝（不合题意，舍去）

此时点T₁的坐标为（0，）.

② 当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R₂NE，如图，设MT交CN于点E，由①得点E的横坐标为，作R₂D₂⊥CN交CN于点D₂，则

S_△R2NE＝•EN•R₂D₂ =••＝2.

∴，b=.

∴b₁＝，b₂＝（不合题意，舍去）．

∴此时点T₂的坐标为（0，）．

综上所述，在y轴上存在点T₁（0，），T₂（0，）符合条件．